Pré-Vestibular ⇒ INSPER 2011 - Geometria Plana. Tópico resolvido

[oilut]

O círculo claro da figura, de raio 2R, está inscrito no losango ABCD. Os dois círculos escuros, ambos de raio R, são tangentes a dois lados do losango e ao círculo claro:

Assim, a área do losango ABCD é igual a:

(A) 18 [tex3]\sqrt{2R^{2}}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2R^{2}}[/tex3]

.
(B) 24 [tex3]\sqrt{2R^{2}}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2R^{2}}[/tex3]

.
(C) 12 [tex3]\sqrt{3R^{2}}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3R^{2}}[/tex3]

.
(D) 18 [tex3]\sqrt{3R^{2}}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3R^{2}}[/tex3]

.
(E) 24 [tex3]R^{2}[/tex3]

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[tex3]R^{2}[/tex3]

.

Resposta

---

(A) 18 [tex3]\sqrt{2R^{2}}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2R^{2}}[/tex3]

.

[Tassandro]

oilut,

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Por Pitágoras:
[tex3](3R)^2=x^2+R^2\implies x=2\sqrt2R[/tex3]

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[tex3](3R)^2=x^2+R^2\implies x=2\sqrt2R[/tex3]

Como [tex3]\triangle AFE\equiv\triangle EHO\implies AO=6R\implies AC=12R[/tex3]

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[tex3]\triangle AFE\equiv\triangle EHO\implies AO=6R\implies AC=12R[/tex3]

Por semelhança de triângulos:
[tex3]\frac{BO}{2R}=\frac{3R}{2\sqrt2R}\implies BO=\frac{3\sqrt2R}{2}\implies BD=3R\sqrt2[/tex3]

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[tex3]\frac{BO}{2R}=\frac{3R}{2\sqrt2R}\implies BO=\frac{3\sqrt2R}{2}\implies BD=3R\sqrt2[/tex3]

Finalmente,
[tex3]S=\frac{Dd}{2}=\frac{12R\cdot3\sqrt2R}{2}=18\sqrt2R^2[/tex3]

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[tex3]S=\frac{Dd}{2}=\frac{12R\cdot3\sqrt2R}{2}=18\sqrt2R^2[/tex3]