Pré-Vestibular ⇒ FMJ 2011 - Geometria Plana. Tópico resolvido

[oilut]

A figura ilustra a região da grande área de um campo de futebol, com a chamada ‘meia-lua’, hachurada. Essa ‘meia-lua’ é determinada por um trecho de circunferência de raio 9,15 m com centro na marca P do ‘penalty’ e pela linha frontal AB da grande área, que divide o raio contido na mediatriz de AB em duas metades, como se vê na figura.

A área hachurada da ‘meia-lua’ é, em metros quadrados, mais próxima de:


(A) 20.
(B) 35.
(C) 50.
(D) 90.
(E) 125.

Resposta

---

(C) 50

[petras]

oilut,
Teremos a área de um segmento circular:

[tex3]\mathsf{\Delta_{CEP}\rightarrow PC^2=CE^2+PE^2=R^2=CE^2+\frac{R}{2}^2\rightarrow CE = \frac{R\sqrt{3}}{2}\\
sen~P\hat{C}E=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}\implies P\hat{C}E = 30^o\implies C\hat{P}D = 120^0\\
S_{Setor} = \frac{\pi R^2}{3}\\
S_{\Delta_{CPD}}=\frac{1}{2}.R\sqrt{3}.\frac{R}{2}=\frac{R^2\sqrt{3}}{4}\\
S_{segmento} = \frac{\pi R^2}{3}-\frac{R^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4\pi R^2-3R^2\sqrt{3}}{12}=\\
\frac{R^2(4\pi -3\sqrt{3})}{12}(usando~\pi = 3 e~~\sqrt{3 }= 1,7)\rightarrow \\
\boxed{\color{red}S_{segmento}\approx 52}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\Delta_{CEP}\rightarrow PC^2=CE^2+PE^2=R^2=CE^2+\frac{R}{2}^2\rightarrow CE = \frac{R\sqrt{3}}{2}\\
sen~P\hat{C}E=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}\implies P\hat{C}E = 30^o\implies C\hat{P}D = 120^0\\
S_{Setor} = \frac{\pi R^2}{3}\\
S_{\Delta_{CPD}}=\frac{1}{2}.R\sqrt{3}.\frac{R}{2}=\frac{R^2\sqrt{3}}{4}\\
S_{segmento} = \frac{\pi R^2}{3}-\frac{R^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4\pi R^2-3R^2\sqrt{3}}{12}=\\
\frac{R^2(4\pi -3\sqrt{3})}{12}(usando~\pi = 3 e~~\sqrt{3 }= 1,7)\rightarrow \\
\boxed{\color{red}S_{segmento}\approx 52}}[/tex3]