Pré-Vestibular ⇒ Esferas Tópico resolvido

[Bela645]

UnB) considere que a partir de um cubo, sejam construídas as esferas inscritas e circunscritas a esse cubo. Sejam V1 o volume da esfera inscrita e V2 o volume da esfera circunscrita. Então o quociente V2/V1 é independente do tamanho do cubo e é igual a 3 raiz de 3. GAB:C pq?

[Planck]

Olá, Bela645.

Quando a esfera está inscrita, seu raio é metade do lado do cubo (vamos supor [tex3]\ell[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\ell[/tex3]

de lado):

[tex3]\text V_1 = \frac{4}{3}\pi \(\frac{\ell}{2}\)^3 \implies \text V_1 = \frac{\pi \ell^3}{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text V_1 = \frac{4}{3}\pi \(\frac{\ell}{2}\)^3 \implies \text V_1 = \frac{\pi \ell^3}{6}[/tex3]

Quando a esfera está circunscrita, seu raio é a metade da diagonal do cubo:

[tex3]\text V_2 = \frac{4}{3 } \pi \(\frac{\ell \sqrt 3}{2}\)^3 \implies \text V_2 = \frac{\pi\ell^3 \sqrt 3}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text V_2 = \frac{4}{3 } \pi \(\frac{\ell \sqrt 3}{2}\)^3 \implies \text V_2 = \frac{\pi\ell^3 \sqrt 3}{2}[/tex3]

Fazendo a razão pedida, ficamos com:

[tex3]\frac{\text V_2}{\text V_1} = \frac{\frac{\pi\ell^3 \sqrt 3}{2}}{\frac{\pi \ell^3}{6}} = 3\sqrt 3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\text V_2}{\text V_1} = \frac{\frac{\pi\ell^3 \sqrt 3}{2}}{\frac{\pi \ell^3}{6}} = 3\sqrt 3[/tex3]

Note que o comprimento do cubo não interfere nesse valor.