Pré-Vestibular

Alguém poderia me ajudar nesses tipos de questões? to tendo muita dificuldade pra entender o mecanismo desses tipos de problemas.

Um numero natural deixa resto 3 quando divido por 7, e resto 5 quando dividido por 6. qual o resto da divisão desse numero por 42?

obs. sei que o resultado é 17, porem não consigo entender como chegou nesse resultado!

Queremos descobrir [tex3]n[/tex3] tal que

[tex3]n=7q+3[/tex3] e [tex3]n=6k+5[/tex3]

Logo [tex3]7q+3=6k+5[/tex3] ou sej

[tex3]7q-6k=2[/tex3]

Essa equação diofantina tem solução pois o mdc de 6 e 7 é 1. E 1 divide 2. Na verdade, essa equação tem infinitas soluções! Ou seja, tem infinitos n que atende o enunciado. Pesquise por equações diofantinas e tente resolver (existem inúmeros vídeos explicando). Caso não consiga. Depois eu faço. Não me veio à cabeça agora se tem jeito mais simples de fazer rsrs

Vamos lá então, melhorar a resposta, rsrs

Primeiramente, para responder essa questão, é interessante estar um pouco familiarizado com aritmética básica.

Uma das coisas mais elementares em aritmética, é entender e escrever que todo número pode ser escrito na forma de divisão euclidiana. Ou seja.

Dado um número inteiro [tex3]a[/tex3] e outro [tex3]b\neq 0[/tex3] . Podemos escrever [tex3]a=bq+r[/tex3] . Onde [tex3]q[/tex3] é o [tex3]a[/tex3] é o "dividendo", [tex3]b[/tex3] o "divisor", [tex3]q[/tex3] o quociente e [tex3]r[/tex3] o resto, sendo que [tex3]0\leq r\leq a[/tex3] . Por exemplo, dividindo 10 por 4, no formato de divisão euclidiana temos [tex3]10=4\cdot2+2[/tex3] , dividindo 19 por 6, temos, [tex3]19=6\cdot3+1[/tex3] , etc. Sendo que, quando a divisão é exata, o resto será 0.

Tendo isso em mente, o enunciado diz que o número em questão deixa resto 3 ao dividir por 7, e deixa resto 5 ao dividir por 6. Logo esse número [tex3]n[/tex3] pode ser escrito como.

[tex3]n=7q+3[/tex3] e [tex3]n=6k+5[/tex3] . Como as duas expressões valem [tex3]n[/tex3] , vamos igualar as duas:

[tex3]7q+3=6k+5\implies7q+(-6)k=2[/tex3]

[tex3]7q+(-6k)=2[/tex3] é uma equação diofantina que tem solução. Você pode assistir esse vídeo para aprender como solucionar a equação https://www.youtube.com/watch?v=71p6a5YeGUQ, tem vários videos resolvendo esse tipo de equação. Para isso, precisamos descobrir uma solução particular dela, existe um método, chamado algoritmo de Euclides para descobrir, que dependendo dos números, demora um pouco, mas descobre. Nesse caso a solução particular é fácil, pois [tex3]q=2[/tex3] e [tex3]k=2[/tex3] são soluções da equação, veja:

[tex3]7\cdot2+(-6)\cdot2=2[/tex3] .

Logo, todas soluções dessa equação serão:

[tex3]q=2-6t[/tex3]
[tex3]k=2-7t[/tex3]

Substituindo, [tex3]t=0[/tex3] por exemplo, teremos [tex3]q=2[/tex3] . Logo [tex3]n=7\cdot2+3=17.[/tex3] . Se pegarmos [tex3]t=-1[/tex3] , teremos [tex3]q=8[/tex3] , logo [tex3]n=7\cdot8+3=59[/tex3] . Se pegarmos [tex3]t=-2[/tex3] , teremos [tex3]q=14[/tex3] , logo, [tex3]n=7\cdot14+3=101[/tex3] . E assim por diante, você pode escolher o t que quiser para gerar um número novo. E o que eles têm em comum? Todos deixam resto 17 ao dividir por 42.

muito obrigada!! melhorou sim!!

obrigadaaaaaa!! entendi perfeitamente

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