Pré-Vestibular ⇒ Proporção Tópico resolvido

[Willrf]

A proporcionalidade é uma das ideias fundamentais da Matemática. Ela é utilizada frequentemente no cotidiano para saber, por exemplo, a conveniência de uma oferta: se uma loja vender um único pen drive por R$ 20,00 e três do mesmo tipo por R$ 50,00, pode-se afirmar que se trata de uma boa oportunidade para quem precisar dessa quantidade. A proporcionalidade está presente na relação entre grandezas de diferentes áreas do conhecimento.

Alguns exemplos:

Mantida a distância, velocidade e tempo são inversamente proporcionais.O perímetro de um círculo é diretamente proporcional ao seu raio e sua área é diretamente proporcional ao quadrado de seu raio. A força de atração entre duas massas é inversamente proporcional ao quadrado do seu raio (lei da gravitação universal). Convém ressaltar que muitas relações não são proporcionais. Para resolver problemas envolvendo a variação entre duas grande- zas quaisquer x e y, é conveniente verificar inicialmente a natureza dessa variação. Há problemas que tratam de duas grandezas x e y que variam de tal modo que a proporcionalidade direta ocorre não entre y e x, mas entre o quanto y varia a partir de certo valor h e x. Nesses casos, y – h = kx, (k e h constantes). Assim, y – h é diretamente proporcio- nalax.


Analise as seguintes situações a respeito da variação de duas grandezas:

I. Uma caixa d’água de capacidade 4 m3 está completamente cheia. Essa caixa fornece água na razão de 5 litros por minuto. Con-
sidere y o volume de água na caixa no instante x.

II. Uma pessoa tomou uma xícara de café com 200 mg de cafeína. Sabe-se que a taxa de cafeína decai no corpo humano cerca de
16% por hora. Seja y a quantidade de cafeína no corpo da pessoa, x minutos após o café ter sido tomado.

III. Na tabela, y representa o custo da produção de x objetos. O valor 500 da tabela correspondente a x = 0, que é o custo fixo

EE4C6347-746C-47DA-8C15-D23C63807AA5.png

É correto afirmar que

a) nas situações I e II, x e y são inversamente proporcionais; na situação III, y – 500 é diretamente proporcional a x.

b) na situação I, y é inversamente proporcional a x; na situação II, as grandezas x e y não são nem diretamente, nem inversamente proporcionais; na situação III, y – 500 é diretamente proporcional a x.

c) nas situações I e II, x e y não são nem diretamente, nem inversamente proporcionais; na situação III, y – 500 é diretamente pro- porcional a x.

d) na situação I, y não é nem diretamente, nem inversamente proporcional a x; na situação II, y é inversamente proporcional a x; na situação III, y – 500 é diretamente proporcional a x.

e) na situação I, y – 5 é diretamente proporcional a x; na situação II, a grandeza y é inversamente proporcional a x; na situação III, y – 500 é diretamente proporcional a x

Resposta

---

C

[petras]

Willrf,

Tabela do item III
[tex3]\begin{array}{|c|c|}
\hline 0 & 5 & 10&15&20\\
\hline 500 &520&540&560&580 \\ \hline
\end{array}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{array}{|c|c|}
\hline 0 & 5 & 10&15&20\\
\hline 500 &520&540&560&580 \\ \hline
\end{array}[/tex3]

Vou utilizar valores para facilitar a visualização

Item I
x=1 min - y=3995l
x1=2 min - y1=3990l
x2=3 min - y2=2985l
---

Veja que aumentando o tempo, o volume diminui portanto excluímos o diretamente proporcional
É fácil perceber que o produto x.y [tex3]\neq [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\neq [/tex3]

x1.y1 portanto não são inversamente proporcionais

Item II

200 g
x=1h - y=168g
x1=2h - y1=141,12
---
Veja que aumentando o tempo, a quantidade de cafeina diminui portanto excluímos o diretamente proporcional
É fácil perceber que o produto x.y [tex3]\neq [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\neq [/tex3]

x1.y1 portanto não são inversamente proporcionais

item III
x = 5 - y = 520-500 = 20
x =10 - y = 540-500 = 40
x = 15 - y = 560 - 500 = 60
---
Veja que aumentando x, u também aumenta portanto excluímos o inversamente proporcional
Verificamos que a divisão de y por x se mantém constante [tex3]\frac{20}{5}=\frac{40}{10}=\frac{60}{15}=...=4 (=constante~ de ~proporcionalidade)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{20}{5}=\frac{40}{10}=\frac{60}{15}=...=4 (=constante~ de ~proporcionalidade)[/tex3]

[/tex3] o que caracteriza grandezas diretamente proporcionais.

[Willrf]

Só me explica essa relação de x.y diferente de x1.y1 tem que dar igual ao início é??

[petras]

Willrf,

Dizemos que duas grandezas x e y são inversamente proporcionais quando o produto entre x e y é constante.
x⋅y=k Este valor k é denominado constante de proporção ou proporcionalidade

Ex:

Velocidade (x) 60 80 100 120
Tempo (y) 4 3 2,4 2
Quando a velocidade dobra de 60 para 120, o tempo em horas diminui de 4 para 2, ou seja, pela metade.
Para ter certeza de que x e y são inversamente proporcionais, o produto deles deve ser constante:
60.4 = 80.3=100.2,4=120.2 = 240=k