Pré-Vestibulargeometria analítica Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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joãofw
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Mar 2020 29 12:00

geometria analítica

Mensagem não lida por joãofw »

O gráfico abaixo mostra o segmento de reta AB, sobre o qual um ponto C (p, q) se desloca de A até B (3, 0).
questao-uerj-28.png
questao-uerj-28.png (16.14 KiB) Exibido 111 vezes
O produto das distâncias do ponto C aos eixos coordenados é variável e tem valor máximo igual a 4,5.

O comprimento do segmento AB corresponde a:

A 5
B 6
C 3√5
D 6√2
Resposta

c
Obs: achei resolução na internet, porém a resolução na internet começa a chamar o "q" = y". Gostaria que resolvesse essa questão com os próprios termos fornecidos, sem nenhuma "firula", pois isso atrapalha meu entendimento. Desculpe pela ignorância , estou nesta questão há 30 minutos.




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Planck
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Mar 2020 29 12:30

Re: geometria analítica

Mensagem não lida por Planck »

Olá, joãofw.

O ponto [tex3]\text A[/tex3] possui coordenadas [tex3](0, y_\text A)[/tex3] e o ponto [tex3]\text B[/tex3] possui coordenadas [tex3](3,0)[/tex3] . Agora, vamos brincar com a Geometria Plana. Note que os triângulos [tex3]\text {AqC}[/tex3] e [tex3]\text{AOB}[/tex3] são semelhantes, de modo que é valido afirmar o seguinte:

[tex3]\frac{y_\text A -\text q}{\text p} = \frac{y_\text A}{3} \implies 3 (y_\text A - \text q) = \text p y_\text A \iff \text q = 3 y_\text A - \text p y_\text A[/tex3]

Mas, [tex3]\text p \text q[/tex3] assume o valor máximo de [tex3]4,5[/tex3] , ou seja, multiplicando a expressão toda por [tex3]\text p[/tex3] :

[tex3]\text p \text q = y_\text A \text p - \frac{\text p^2 y_\text A}{3}[/tex3]

Temos uma função quadrática, com concavidade voltada para baixo, com valor máximo no [tex3]x_\text v[/tex3] , ou melhor, [tex3]\text p_\text v[/tex3] assim:

[tex3]\text p_\text{v} = \frac{\overbrace{-y_\text A}^{-\text b}}{\underbrace{-\frac{2y_\text A}{3}}_{2 \text a}} \implies \text p_\text v = \frac{3}{2}[/tex3]

Substituindo na expressão para obter [tex3]\text p \text q = 4,5[/tex3] :

[tex3]4,5 = y_\text A \cdot \frac{3}{2} - \frac{3^2}{2^2} \cdot \frac{y_\text A}{3} \implies y_\text A =6[/tex3]

Portanto:

[tex3]\overline {\text {AB}} = \sqrt{6^2 + 3^2} = 3 \sqrt 5 [/tex3]

Última edição: Planck (Dom 29 Mar, 2020 12:32). Total de 1 vez.



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Tassandro
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Mar 2020 29 13:06

Re: geometria analítica

Mensagem não lida por Tassandro »

joãofw,
Como a distância [tex3]p^2+q^2[/tex3] é sempre um valor positivo, podemos usar a desigualdade das médias. Logo,
[tex3]\frac{p^2+q^2}{2}\geq\sqrt{p^2q^2}=|pq|\implies p^2+q^2\geq2|pq|[/tex3]
Agora, perceba que o valor máximo de [tex3]pq[/tex3] ocorre quando [tex3]p=q,[/tex3] pois essa é uma propridade da desigualdade das médias. Assim,
[tex3]pq_{máx}\implies p=q\implies 2p^2=2×|4,5|=9\implies p=\pm3,mas\space p\geq0\therefore p=q=3[/tex3]
Logo, [tex3]p,q=(3;0),(0;3)\implies p=B[/tex3]
Note que se [tex3]p=(3;0)\implies q=(0;0)[/tex3]
Mas se [tex3]q=(0;3),[/tex3] não podemos afirmar que [tex3]p=(0;0)[/tex3]
Seja [tex3]a=\text{ordenada do ponto A},m=\text{abscissa do ponto Q},n=3-m[/tex3]
Observe a figura:
20200329_125823.jpg
20200329_125823.jpg (21.7 KiB) Exibido 102 vezes
Podemos fazer duas relações de semelhança de triângulos importantes:
[tex3]\frac{3}{m}=\frac{a}{a-3}\text{ (I)}[/tex3]
[tex3]\frac{3}{n}=\frac{a}{3}\text{ (II)}[/tex3]
Além de que [tex3]m+n=3\text { (III)}[/tex3]
De [tex3]I,II,III[/tex3] temos que [tex3]m=n=\frac{3}{2}\implies a=6[/tex3]
Logo, [tex3]AB=\sqrt{a^2+3^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=\boxed{\boxed{3\sqrt5}}[/tex3]
Espero ter ajudado!
✅
Última edição: Tassandro (Dom 29 Mar, 2020 13:32). Total de 3 vezes.


A criatividade é a inteligência se divertindo.
Albert Einstein.

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joãofw
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Re: geometria analítica

Mensagem não lida por joãofw »

Obrigado, fui resolvendo com uma caderno ao lado, refazendo tudo novamente. O meu erro foi na colocação da variável para o ponto A. Muito obrigado a vocês.



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Re: geometria analítica

Mensagem não lida por joãofw »

Planck, na sua resolução , após a semelhança de triângulos, você optou por isolar o "q". Mas se eu resolvesse isolar o "p", chegaria na mesma resposta? Eu consigo chegar numa equação do 2º grau, mas quando faço o x do vértice, eu continuo com uma variável na resposta.



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Planck
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Re: geometria analítica

Mensagem não lida por Planck »

joãofw escreveu:
Dom 29 Mar, 2020 12:00
Planck, na sua resolução , após a semelhança de triângulos, você optou por isolar o "q". Mas se eu resolvesse isolar o "p", chegaria na mesma resposta? Eu consigo chegar numa equação do 2º grau, mas quando faço o x do vértice, eu continuo com uma variável na resposta.
Isolando o [tex3]\text p[/tex3] , ficamos com [tex3]\text p = \frac{\text q - 3y_\text A}{y_\text A} = \frac{\text q}{y_\text A} - 3[/tex3] . Se você multiplicar todos termos por [tex3]\text q[/tex3] , vamos obter uma expressão quadrática. Mas, de fato, não é um bom caminho porque vai ficar mais uma variável para ser descoberta. Quando isolamos o [tex3]\text q[/tex3] , acabamos achando indiretamente [tex3]y_\text A[/tex3] .

Optei pelo primeiro caminho porque o [tex3]\text q[/tex3] estava “isolado”, sem outro valor a ser descoberto associado.
Última edição: Planck (Dom 29 Mar, 2020 14:06). Total de 1 vez.



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joãofw
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Re: geometria analítica

Mensagem não lida por joãofw »

Ah sim. Entendi, desculpe pela minha chatice ...



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Planck
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Re: geometria analítica

Mensagem não lida por Planck »

Planck escreveu:
Dom 29 Mar, 2020 14:04
Ah sim. Entendi, desculpe pela minha chatice ...
Que isso, dúvidas precisam ser sanadas sempre! Se não, vai virando uma “bola de neve”. Aproveite o fórum para tirar todas suas dúvidas. :D




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