Pré-Vestibular(PAS-UnB) Número Complexo Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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andrezza
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(PAS-UnB) Número Complexo

Mensagem não lida por andrezza »

1.png
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No mapa do estado do Rio Grande do Sul mostrado na figura anterior, foi inserido um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, em que a unidade de medida é o quilômetro e a origem coincide com a cidade de Cachoeira do Sul. Com referência a esse sistema, a tabela mostra as coordenadas das outras cidades contidas no mapa. Cada ponto (x, y) desse plano cartesiano é identificado com o número complexo z = x + iy, em que a unidade imaginária i é tal que i2 = −1.
Julgue:
1- Entre as coordenadas das cidades mostradas no mapa, apenas para uma delas o correspondente número complexo é raiz da equação z3 – 12z = 0.
Resposta

Certo




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mcarvalho
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Re: (PAS-UnB) Número Complexo

Mensagem não lida por mcarvalho »

Boa noite.

A UnB gosta de inventar moda nas questões, não? Espero que seja só com o tópico de números complexos - provavelmente não é.

Bem, nesse caso, parece que temos de encontrar as raízes (são três) de [tex3]z^3-12z=0[/tex3] . Vamos resolver normalmente e depois fazemos a substituição [tex3]z=x+yi[/tex3] . Então:

[tex3]z^3-12z=0\rightarrow z(z^2-12)=0[/tex3]

São raízes [tex3]z=0,\pm 2\sqrt{3}[/tex3] , todas puramente reais, o que significa que o nosso complexo [tex3]z=x+yi[/tex3] tem parte imaginária nula. A interpretação geométrica disso é que o afixo de z, isto é, sua representação no plano complexo, estará exatamente em algum lugar sob o eixo das abcissas (já que sua ordenada será nula). O ponto (0;0) representa um dos possíveis valores de z, que é o ponto que corresponde à cidade de Cachoeira do Sul. Os outros pontos possíveis são [tex3]-2\sqrt{2}[/tex3] , à esquerda de (0;0), onde não há nenhum ponto, e o ponto [tex3]+2\sqrt{2}[/tex3] , à direita, onde só há o ponto que corresponde à cidade de Porto Alegre. Porém sua parte real é 200, que, convenhamos, não representa, nem de perto, o valor de [tex3]2\sqrt{2}[/tex3]



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