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Considere um conjunto de pontos em um sistema de coordenadas cartesianas xOy, identificado com o plano complexo, sendo cada ponto P(x, y) correspondente ao número complexo z = x + iy, em que i = −1. Considere ainda que esses pontos estejam distribuídos nos
dois subconjuntos descritos a seguir.
Subconjunto I: Quarenta pontos, vinte dos quais encontramse sobre uma mesma reta e os demais em um semicírculo, como mostra a figura abaixo. Dessa forma, quaisquer três pontos que se encontram no semicírculo nunca estão em linha reta.

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Subconjunto II: N pontos, cada um deles representando um dos vértices de um polígono regular, cuja soma dos ângulos internos é igual a q. Esse polígono encontra-se inscrito na circunferência de centro na origem e raio 1.
Julgue:

1- Se o polígono que origina o subconjunto II tiver 10 lados e se um dos vértices desse polígono estiver sobre o eixo Ox positivo, então z= cos [tex3]\frac{7\pi }{5}[/tex3] +isen [tex3]\frac{7\pi }{5}[/tex3] também será um dos vértices desse polígono.

Resposta

Certo

Olá, andrezza.

Primeiramente, precisamos descobrir em quantas partes o ângulo central é dividido. Considerando um polígono regular de dez lados, podemos dividir a figura em 10 triângulos congruentes com vértice no centro do polígono, assim as subdivisões do angulo central serão dadas por:

[tex3]\alpha = \frac{360 \degree}{10} = 36\degree = \frac{\pi}{5}[/tex3]

Ou seja, com polígono centrado na origem, o argumento para o primeiro vértice será dado por:

[tex3]z = \cos 36 \degree + i \sen 36 \degree[/tex3]

Para os vértice seguintes, os ângulos aumentarão [tex3]36\degree[/tex3] a cada vértice ou, [tex3]\frac{\pi}{5}[/tex3] a cada vértice. Note que [tex3]\frac{7\pi}{5}[/tex3] faz parte dessa progressão dos ângulos e, desse modo, [tex3]z = \cos \frac{7 \pi}{5} + i \sen \frac{7\pi}{5}[/tex3] será um dos vértices desse polígono. É parecido com o que fazemos no ciclo trigonométrico.

: 4DDC1B80-A245-4C1A-A8A0-734825276444.png (109.01 KiB) Exibido 1176 vezes

andrezza,
Como o polígono formado será regular, podemos escrever que o seu ângulo central será:
[tex3]\frac{360°}{10}=\frac{2π\space rad}{10}=\frac{π\space rad}{5}[/tex3]
Logo, o ângulo entre cada um desses vértices será [tex3]\frac{π}{5} rad[/tex3]
Agora, como um dos vértices está sobre o eixo 0x positivo, os valores do argumento dos demais vértices serão [tex3]\frac{π}{5},\frac{2π}{5},...,\frac{7π}{5},...,\frac{9π}{5}[/tex3] , pois a diferença entre cada um deles, como já vimos, vale [tex3]\frac{π}{5}rad[/tex3]
Agora, como

andrezza escreveu: ↑
Sáb 28 Mar, 2020 17:04
Esse polígono encontra-se inscrito na circunferência de centro na origem e raio 1.

e

andrezza escreveu: ↑
Sáb 28 Mar, 2020 17:04
se um dos vértices desse polígono estiver sobre o eixo Ox positivo

, nós podemos afirmar que raio da circunferência na qual o polígono está escrito vale 1, portanto, o módulo de todos os números complexos que estiverem nos vértices desse polígono será 1.
Sendo [tex3]z=ρ\cisθ[/tex3] , como [tex3]ρ=1[/tex3] e um dos vértices desse polígono tem como argumento o ângulo [tex3]\frac{7π }{5}[/tex3] , é fato que
[tex3]\boxed{z=\cos\frac{7π}{5}+i\sin\frac{7π}{5}\text{ também será um dos vértices desse polígono!}}[/tex3]

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