Pré-Vestibular(UnB) Volume Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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andrezza
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(UnB) Volume

Mensagem não lida por andrezza »

Considere que determinado trecho sinuoso de uma avenida possa ser descrito pela região compreendida entre os gráficos das funções f(x) = cos kx e g(x) = 5 + cos kx, em que k = [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] rad · m–1 e 0 ≤ x ≤ 16, no sistema de coordenadas cartesianas xOy, que tem o metro como unidade de medida nos eixos Ox e Oy.
1- Suponha que o trecho da avenida referido no texto deva ser revestido com uma camada uniforme de asfalto de 10 cm de espessura. Nessas condições, calcule, em m³, o volume de asfalto a ser empregado nesse revestimento. Multiplique o valor obtido por 100.
Resposta

800




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Tassandro
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Mar 2020 28 16:24

Re: (UnB) Volume

Mensagem não lida por Tassandro »

andrezza,
Formalmente, fazemos que a área entre essas duas funções no intervalo dado vale
[tex3]\int_0^{16}5+\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}dx=\int_0^{16}5dx=5×16=80[/tex3]
Logo, temos que o volume a ser coberto é
[tex3]80\cdot0,1=8\space m^3[/tex3]
Logo, [tex3]8\cdot100=\boxed{800}[/tex3]
Mas, para efeito de comparação, o gráfico da função [tex3]g(x)[/tex3] equivale a translação vertical e para cima do gráfico de [tex3]f(x)[/tex3] em [tex3]5[/tex3] unidades, ou seja, [tex3]g(x)=5+f(x)[/tex3] . Assim, quando calcularmos a área entre essas duas funções, é como se as áreas relacionadas a [tex3]\cos kx[/tex3] se cancelassem e sobrasse apenas a parte relacionada à função [tex3]y=5[/tex3] . Daí, [tex3]5×16=80[/tex3]
Espero que tenha entendido!
✅



A criatividade é a inteligência se divertindo.
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Planck
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Mar 2020 28 16:24

Re: (UnB) Volume

Mensagem não lida por Planck »

Olá, andrezza.

Fiz o gráfico no Geogebra e fiquei com a impressão que podemos supor a área de um retângulo para determinar a área entre as funções... A base do retângulo tem comprimento [tex3]16[/tex3] e largura [tex3]5[/tex3] . Com a espessura de [tex3]0,1[/tex3] do asfalto e multiplicando por [tex3]100[/tex3] , obtemos o [tex3]800 \text { m}^3[/tex3] . Conseguiu fazer o gráfico para as funções?

567B0829-980E-4FCB-9DDC-428997DF60A4.png
567B0829-980E-4FCB-9DDC-428997DF60A4.png (65.89 KiB) Exibido 71 vezes

O trecho C “encaixa” no trecho F, assim como o trecho E “encaixa” no trecho B e também, o trecho A “encaixa” no trecho D, “fechando” um retângulo de base [tex3]16[/tex3] e altura [tex3]5[/tex3] .

Esse é o melhor caminho, a sorte é que a UnB foi gentil e colocou as funções com o mesmo período.
Última edição: Planck (Sáb 28 Mar, 2020 16:50). Total de 3 vezes.



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Planck
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Re: (UnB) Volume

Mensagem não lida por Planck »

Tassandro escreveu:
Sáb 28 Mar, 2020 16:24
andrezza,
Formalmente, fazemos que a área entre essas duas funções no intervalo dado vale
[tex3]\int_0^{16}5+\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}dx=\int_0^{16}5dx=5×16=80[/tex3]
Logo, temos que o volume a ser coberto é
[tex3]80\cdot0,1=8\space m^3[/tex3]
Logo, [tex3]8\cdot100=\boxed{800}[/tex3]
Mas, para efeito de comparação, o gráfico da função [tex3]g(x)[/tex3] equivale a translação vertical e para cima do gráfico de [tex3]f(x)[/tex3] em [tex3]5[/tex3] unidades, ou seja, [tex3]g(x)=5+f(x)[/tex3] . Assim, quando calcularmos a área entre essas duas funções, é como se as áreas relacionadas a [tex3]\cos kx[/tex3] se cancelassem e sobrasse apenas a parte relacionada à função [tex3]y=5[/tex3] . Daí, [tex3]5×16=80[/tex3]
Espero que tenha entendido!
✅
Considerando o vestibular da UnB, utilizar o integral não é muito conhecido para os candidatos. Além disso, precisamos integrar as duas funções e subtrair os integrais.



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andrezza
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Re: (UnB) Volume

Mensagem não lida por andrezza »

Planck escreveu:
Sáb 28 Mar, 2020 16:24
Conseguiu fazer o gráfico para as funções?
Tinha pensado dessa forma, mas não tinha certeza se era a forma correta de resolver... Por ser nível de vestibular, deve ser essa interpretação mesmo.



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Planck
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Re: (UnB) Volume

Mensagem não lida por Planck »

andrezza escreveu:
Sáb 28 Mar, 2020 16:50
Planck escreveu:
Sáb 28 Mar, 2020 16:24
Conseguiu fazer o gráfico para as funções?
Tinha pensado dessa forma, mas não tinha certeza se era a forma correta de resolver... Por ser nível de vestibular, deve ser essa interpretação mesmo.
Se fosse algum vestibular militar, não ficaria surpreso de ter que usar integrais. Mas, como é a UnB e eles adoram “incentivar” a criatividade do candidato... Acredito que essa seja a forma que eles queriam que a questão fosse resolvida.

Curiosidade, uma integral dupla também pode ser utilizada! :lol:

Resposta

Talvez seja isso: [tex3]\int_0^{16} \int_0^{0,01} 5dz dx[/tex3]




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