Pré-Vestibular ⇒ (Aref) - Geometria Plana Tópico resolvido

[oilut]

Na figura, tem-se CD adjacente a AB. Mostre que a área da região sombreada é igual à área do circulo que tem diâmetro CD.

Resposta

---

**não sei o gabarito**

[Tassandro]

oilut,



Sejam [tex3]Γ_1,Γ_2,Γ_3,Γ_4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Γ_1,Γ_2,Γ_3,Γ_4[/tex3]

os círculos de diâmetro [tex3]AC,BC,AB,CD[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AC,BC,AB,CD[/tex3]

, respectivamente.
Sabemos que a área de um círculo é dada por
[tex3]A=π\frac{D^2}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=π\frac{D^2}{4}[/tex3]

Desse modo, as áreas de [tex3]\frac{Γ_1}{2},\frac{Γ_2}{2},\frac{Γ_3}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{Γ_1}{2},\frac{Γ_2}{2},\frac{Γ_3}{2}[/tex3]

serão iguais a [tex3]π\frac{AC^2}{8},π\frac{BC^2}{8},π\frac{AB^2}{8}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]π\frac{AC^2}{8},π\frac{BC^2}{8},π\frac{AB^2}{8}[/tex3]

Portanto, a área sombreada pode ser escrita como:
[tex3]π\left(\frac{AB^2-(CB^2+AC^2)}{8}\right)\text{ (I)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]π\left(\frac{AB^2-(CB^2+AC^2)}{8}\right)\text{ (I)}[/tex3]

Mas, como [tex3]AB=AC+CB,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AB=AC+CB,[/tex3]

podemos elevar os dois lados ao quadrado e ter
[tex3]AB^2=AC^2+BC^2+2×AC×BC\iff \frac{AB^2-(CB^2+AC^2)}8=\frac{AC×BC}{4}\text{ (II)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AB^2=AC^2+BC^2+2×AC×BC\iff \frac{AB^2-(CB^2+AC^2)}8=\frac{AC×BC}{4}\text{ (II)}[/tex3]

Porém, pela figura, temos que [tex3]CD^2=AC×BC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]CD^2=AC×BC[/tex3]

(dica: relações métricas).
Logo, a área de [tex3]Γ_4=π\frac{CD^2}{4}=π\frac{AC×BC}{4}\text{ (III)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Γ_4=π\frac{CD^2}{4}=π\frac{AC×BC}{4}\text{ (III)}[/tex3]

De [tex3]I,II,III,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]I,II,III,[/tex3]

temos que a área da região sombreada é igual à área do círculo que tem diâmetro CD.
[tex3]Q.E.D.\blacksquare [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Q.E.D.\blacksquare [/tex3]