Pré-Vestibular(Aref) - Geometria Plana Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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oilut
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(Aref) - Geometria Plana

Mensagem não lida por oilut »

Na figura, tem-se CD adjacente a AB. Mostre que a área da região sombreada é igual à área do circulo que tem diâmetro CD.

Resposta

**não sei o gabarito**
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Tassandro
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Mar 2020 28 07:56

Re: (Aref) - Geometria Plana

Mensagem não lida por Tassandro »

oilut,



Sejam [tex3]Γ_1,Γ_2,Γ_3,Γ_4[/tex3] os círculos de diâmetro [tex3]AC,BC,AB,CD[/tex3] , respectivamente.
Sabemos que a área de um círculo é dada por
[tex3]A=π\frac{D^2}{4}[/tex3]
Desse modo, as áreas de [tex3]\frac{Γ_1}{2},\frac{Γ_2}{2},\frac{Γ_3}{2}[/tex3] serão iguais a [tex3]π\frac{AC^2}{8},π\frac{BC^2}{8},π\frac{AB^2}{8}[/tex3]
Portanto, a área sombreada pode ser escrita como:
[tex3]π\left(\frac{AB^2-(CB^2+AC^2)}{8}\right)\text{ (I)}[/tex3]
Mas, como [tex3]AB=AC+CB,[/tex3] podemos elevar os dois lados ao quadrado e ter
[tex3]AB^2=AC^2+BC^2+2×AC×BC\iff \frac{AB^2-(CB^2+AC^2)}8=\frac{AC×BC}{4}\text{ (II)}[/tex3]
Porém, pela figura, temos que [tex3]CD^2=AC×BC[/tex3] (dica: relações métricas).
Logo, a área de [tex3]Γ_4=π\frac{CD^2}{4}=π\frac{AC×BC}{4}\text{ (III)}[/tex3]
De [tex3]I,II,III,[/tex3] temos que a área da região sombreada é igual à área do círculo que tem diâmetro CD.
[tex3]Q.E.D.\blacksquare [/tex3]
✅

Última edição: Tassandro (Sáb 28 Mar, 2020 07:59). Total de 3 vezes.


A criatividade é a inteligência se divertindo.
Albert Einstein.

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