oilut,
Sejam [tex3]Γ_1,Γ_2,Γ_3,Γ_4[/tex3]
os círculos de diâmetro [tex3]AC,BC,AB,CD[/tex3]
, respectivamente.
Sabemos que a área de um círculo é dada por
[tex3]A=π\frac{D^2}{4}[/tex3]
Desse modo, as áreas de [tex3]\frac{Γ_1}{2},\frac{Γ_2}{2},\frac{Γ_3}{2}[/tex3]
serão iguais a [tex3]π\frac{AC^2}{8},π\frac{BC^2}{8},π\frac{AB^2}{8}[/tex3]
Portanto, a área sombreada pode ser escrita como:
[tex3]π\left(\frac{AB^2-(CB^2+AC^2)}{8}\right)\text{ (I)}[/tex3]
Mas, como [tex3]AB=AC+CB,[/tex3]
podemos elevar os dois lados ao quadrado e ter
[tex3]AB^2=AC^2+BC^2+2×AC×BC\iff \frac{AB^2-(CB^2+AC^2)}8=\frac{AC×BC}{4}\text{ (II)}[/tex3]
Porém, pela figura, temos que [tex3]CD^2=AC×BC[/tex3]
(dica: relações métricas).
Logo, a área de [tex3]Γ_4=π\frac{CD^2}{4}=π\frac{AC×BC}{4}\text{ (III)}[/tex3]
De [tex3]I,II,III,[/tex3]
temos que a área da região sombreada é igual à área do círculo que tem diâmetro CD.
[tex3]Q.E.D.\blacksquare [/tex3]
Dias de luta, dias de glória.