Pré-Vestibular(FUVEST) - Geometria Plana. Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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oilut
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(FUVEST) - Geometria Plana.

Mensagem não lida por oilut »

Na figura abaixo, os triângulos ABC e DCE são equiláteros de lado l, com B, C e E colineares. Seja F a intersecção de BD com, AC. Determine, a área do triângulo BCF.


Resposta

[tex3]L^{2}[/tex3] .[tex3]\frac{\sqrt{3}}{8}[/tex3]
Anexos
2d8qjgw.jpg
2d8qjgw.jpg (11.24 KiB) Exibido 153 vezes

Última edição: oilut (Sex 27 Mar, 2020 22:39). Total de 1 vez.



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Tassandro
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Re: (FUVEST) - Geometria Plana.

Mensagem não lida por Tassandro »

oilut,
Note que [tex3]\overline{BC}\parallel \overline{AD}[/tex3] , dica: [tex3]\angle ABC=\angle DCE[/tex3]
Note também que [tex3]\overline{AD}\parallel\overline{AF}[/tex3] , dica: os triângulos equiláteros possuem a mesma altura, logo, a distância dos pontos A e D à reta [tex3]\overline{BE}[/tex3] será a mesma.
Desse modo, teremos o losango
[tex3]ABCD,[/tex3] cujos lados medem [tex3]l.[/tex3]
Logo, F é o ponto de encontro das diagonais e, como já sabemos, as diagonais de um losango se cruzam no seu ponto médio. Portanto, [tex3]CF=\frac{l}{2}[/tex3] e [tex3]BC=l[/tex3] .
Portanto, [tex3][BCF]=\frac{CF\cdot BC\sin60°}{2}=\frac{l^2\sqrt3}{8}[/tex3]
Espero ter ajudado!
✅

Última edição: Tassandro (Sex 27 Mar, 2020 22:56). Total de 1 vez.


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rodBR
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Re: (FUVEST) - Geometria Plana.

Mensagem não lida por rodBR »

Uma outra maneira é vc notar que [tex3]\angle ACD=60^{\circ}\implies \angle BCD=120^{\circ}[/tex3] e como [tex3]\overline{BC}=\overline{CD}[/tex3] , então [tex3]\angle CBD=\angle CDB=30^{\circ}[/tex3] , logo [tex3]\overline{BF}[/tex3] é bissetriz, mediana e altura.

Portanto, segue que:
[tex3]S_{BFC}=\frac{S_{ABC}}{2}\\
S_{BFC}=\frac{\frac{\ell^2\cdot\sqrt3}{4}}{2}\\
\boxed{\boxed{S_{BFC}=\frac{\ell^2\cdot\sqrt3}{8}}}[/tex3]






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