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O mostrador de um relógio de parede possui o formato de octógono regular. A figura a seguir mostra que, em sua confecção, foram utilizados dois tipos de madeira: uma clara, para formar os losangos, e outra escura, para formar os triângulos.

Sabe-se que, na figura, os triângulos são retângulos e isósceles e que todos os losangos são congruentes entre si.

No mostrador desse relógio, a razão entre as áreas com madeira clara e com madeira escura, nessa ordem, é

a) [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

b) 2 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

c) [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

d) [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

e) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]

**não sei o gabarito**

oilut,




Seja [tex3]l[/tex3]

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[tex3]l[/tex3]

a medida do lado do octógono.
Note que os menores lados de cada triângulo valerão [tex3]l\frac{\sqrt2}{2}[/tex3]

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[tex3]l\frac{\sqrt2}{2}[/tex3]

Portanto, a área de [tex3]1[/tex3]

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[tex3]1[/tex3]

triângulo será [tex3]\frac{l\frac{\sqrt2}{2}\cdot l\frac{\sqrt2}{2}}{2}=\frac{l^2}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{l\frac{\sqrt2}{2}\cdot l\frac{\sqrt2}{2}}{2}=\frac{l^2}{4}[/tex3]

Note que o ângulo interno de um octógono vale [tex3]135°[/tex3]

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[tex3]135°[/tex3]

Desse modo, o menor ângulo de cada trapézio valerá [tex3]45°[/tex3]

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[tex3]45°[/tex3]

e os lados do trapézio serão iguais a [tex3]l\frac{\sqrt2}{2}[/tex3]

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[tex3]l\frac{\sqrt2}{2}[/tex3]

Assim, vamos calcular o valor das diagonais de cada trapézio, aplicando a lei dos cossenos, sendo [tex3]d[/tex3]

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[tex3]d[/tex3]

a menor diagonal e [tex3]D[/tex3]

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[tex3]D[/tex3]

a maior.
Assim,
[tex3]d^2=\left(l\frac{\sqrt2}{2}\right)^2+\left(l\frac{\sqrt2}{2}\right)^2-2\cdot l\frac{\sqrt2}{2}\cdot l\frac{\sqrt2}{2}\cdot \cos45°=l^2\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)\\
\implies d=l\sqrt{1-\frac{\sqrt2}{2}}[/tex3]

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[tex3]d^2=\left(l\frac{\sqrt2}{2}\right)^2+\left(l\frac{\sqrt2}{2}\right)^2-2\cdot l\frac{\sqrt2}{2}\cdot l\frac{\sqrt2}{2}\cdot \cos45°=l^2\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)\\
\implies d=l\sqrt{1-\frac{\sqrt2}{2}}[/tex3]

Analogamente,
[tex3]D=l\sqrt{1+\frac{\sqrt2}{2}}[/tex3]

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[tex3]D=l\sqrt{1+\frac{\sqrt2}{2}}[/tex3]

Assim, a área de um losango será
[tex3]\frac{D×d}{2}\implies \frac{l^2\cdot\frac{1}{\sqrt2}}{2}\implies \frac{l^2\sqrt2}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{D×d}{2}\implies \frac{l^2\cdot\frac{1}{\sqrt2}}{2}\implies \frac{l^2\sqrt2}{4}[/tex3]

Como o número de losangos e de triângulos é o mesmo, calcular a razão entre as duas áreas equivale a calcular a razão entre a área de um losango e a área de um triângulo, o que nos dá:
[tex3]\frac{\frac{l^2\sqrt2}{4}}{\frac{l^2}{4}}=\boxed{\boxed{\sqrt2}}[/tex3]

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[tex3]\frac{\frac{l^2\sqrt2}{4}}{\frac{l^2}{4}}=\boxed{\boxed{\sqrt2}}[/tex3]