Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST) - Geometria Plana

[oilut]

Durante uma aula de desenho geométrico, um aluno desenhou um semicírculo, de centro C e diâmetro DE = 24 cm, e um triângulo retângulo ABC. Em seguida, verificou que a área sombreada no semicírculo valia 69 [tex3]\pi [/tex3]

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[tex3]\pi [/tex3]

cm².

Com as informações apresentadas, a medida do ângulo, representado por a, é igual a:

(A) 70°.
(B) 75,5°.
(C) 80°.
(D) 82,5°.
(E) 87°.

Resposta

---

(D) 82,5°.

[Tassandro]

oilut,
O raio do círculo vale [tex3]12\space cm[/tex3]

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[tex3]12\space cm[/tex3]

.


A área do semicírculo é dada por [tex3]\frac{πr^2}{2}=72π\space cm^2[/tex3]

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[tex3]\frac{πr^2}{2}=72π\space cm^2[/tex3]

A área do setor circular é dada por [tex3]\frac{1}{2}r^2\cdotθ[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2}r^2\cdotθ[/tex3]

, para [tex3]θ\space em \space rad[/tex3]

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[tex3]θ\space em \space rad[/tex3]

Logo, a área do setor circular de ângulo [tex3]θ=\frac{π}{2}-α[/tex3]

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[tex3]θ=\frac{π}{2}-α[/tex3]

vale [tex3]72π-69 π=3π\space cm^2\implies \frac{1}{2}12^2\cdotθ=3π\impliesθ=\frac{π}{24}=\frac{π}{2}- α[/tex3]

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[tex3]72π-69 π=3π\space cm^2\implies \frac{1}{2}12^2\cdotθ=3π\impliesθ=\frac{π}{24}=\frac{π}{2}- α[/tex3]

Logo, [tex3]α=\frac{11π}{24}\space rad[/tex3]

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[tex3]α=\frac{11π}{24}\space rad[/tex3]

Usando o fato de que [tex3]π\space rad=180°[/tex3]

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[tex3]π\space rad=180°[/tex3]

, encontramos que [tex3]\boxed{\boxed{α=82,5°}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\boxed{α=82,5°}}[/tex3]

[oilut]

Tassandro,

Achei essa resolução, porém, a parte destacada deixa bastante confuso.