A medida, em cm² da área da região interior ao quadrilátero e exterior à circunferência é
Resposta
[tex3]\frac{12\sqrt{3}-4\pi }{3}[/tex3]
Pré-Vestibular ⇒ Geometria plana Tópico resolvido
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Heisenberg1 
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Fev 2020
26
14:01
Geometria plana
No plano, a distância do ponto P ao centro O da circunferência cuja medida do raio é 2cm é igual a 4cm Traçam-se, pelo ponto P, duas retas que tangenciam a circunferência nos pontos M e N determinando o quadrilátero MPNO.
A medida, em cm² da área da região interior ao quadrilátero e exterior à circunferência é
[tex3]\frac{12\sqrt{3}-4\pi }{3}[/tex3]
A medida, em cm² da área da região interior ao quadrilátero e exterior à circunferência é
[tex3]\frac{12\sqrt{3}-4\pi }{3}[/tex3]
Fev 2020
26
14:40
Re: Geometria plana
Já desenhou a figura? Segue esboço em anexo, mas o desenho é simples.
Da geometria plana, sabemos [tex3]NP=MP,\angle ONP=\angle OMP=90º\implies NP=\sqrt{OP^2-ON^2}=2\sqrt{3}[/tex3] .
Como [tex3]\angle NOP=\angle MOP=\theta[/tex3] , vem: [tex3]\theta=\arccos\(\frac{ON}{OP}\)=\arccos\frac 12\therefore \theta=60º[/tex3] .
A área [tex3]A[/tex3] interior ao quadrilátero e exterior à circunferência é a área [tex3]A_t[/tex3] total do quadrilátero menos a área [tex3]A_c [/tex3] do segmento circular de ângulo [tex3]2\theta[/tex3] . Assim: [tex3]A=A_t-A_c[/tex3]
i) [tex3]A_t=2A_{\Delta ONP}=2\(\frac{ON\cdot NP}{2}\)=4\sqrt{3}[/tex3]
ii) [tex3]\frac{A_c}{\pi \cdot2^2}=\frac{2\cdot60}{360}\rightarrow A_c=\frac{4\pi}{3}[/tex3]
iii) [tex3]A=4\sqrt{3}-\frac{4\pi}{3}=\frac{12\sqrt{3}-4\pi}{3}[/tex3]
Da geometria plana, sabemos [tex3]NP=MP,\angle ONP=\angle OMP=90º\implies NP=\sqrt{OP^2-ON^2}=2\sqrt{3}[/tex3] .
Como [tex3]\angle NOP=\angle MOP=\theta[/tex3] , vem: [tex3]\theta=\arccos\(\frac{ON}{OP}\)=\arccos\frac 12\therefore \theta=60º[/tex3] .
A área [tex3]A[/tex3] interior ao quadrilátero e exterior à circunferência é a área [tex3]A_t[/tex3] total do quadrilátero menos a área [tex3]A_c [/tex3] do segmento circular de ângulo [tex3]2\theta[/tex3] . Assim: [tex3]A=A_t-A_c[/tex3]
i) [tex3]A_t=2A_{\Delta ONP}=2\(\frac{ON\cdot NP}{2}\)=4\sqrt{3}[/tex3]
ii) [tex3]\frac{A_c}{\pi \cdot2^2}=\frac{2\cdot60}{360}\rightarrow A_c=\frac{4\pi}{3}[/tex3]
iii) [tex3]A=4\sqrt{3}-\frac{4\pi}{3}=\frac{12\sqrt{3}-4\pi}{3}[/tex3]
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