Em um triângulo eqüilátero de lado [tex3]2a[/tex3]
a) [tex3]a^2(2\sqrt{3}-2)[/tex3]
b) [tex3]\frac{a^2}{2}(2-\sqrt{3})[/tex3]
c) [tex3]\frac{a^2}{2}(4-\sqrt{3})[/tex3]
d) [tex3]a^2(4-\sqrt{3})[/tex3]
e) [tex3]\frac{a^2}{2}(2\sqrt{3}-3)[/tex3]
, traçam-se, com centro em [tex3]A[/tex3]
e [tex3]B[/tex3]
, dois arcos de circunferência de mesmo raio [tex3]\frac{a\sqrt{13}}{2}[/tex3]
que se interceptam em [tex3]D[/tex3]
. A área da região hachurada vale: Pré-Vestibular ⇒ (UNIP) - Geometria
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(UNIP) - Geometria
Última edição: Mandynha (Qui 30 Out, 2008 17:16). Total de 1 vez.
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Re: (UNIP) - Geometria
Olá, Mandynha.
[tex3](DB)= \frac{a\sqrt{13}}{2}[/tex3]
Cálculo de [tex3]h[/tex3] aplicando o Teorema dos cossenos no [tex3]\Delta DCB[/tex3] .
[tex3](\frac{a\sqrt{13}}{2})^2 = (2a)^2 + h^2 - 2.2ah.cos 30[/tex3] º
[tex3]\frac{13a^2}{4}= 4a^2+h^2 - 4ha.\frac{sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]13a^2 = 16a^2 + 4h^2 - 8h\sqrt{3}a[/tex3]
[tex3]4h^2 - 8a\sqrt{3}h + 3a^2 =0[/tex3]
Resolvendo essa equação do [tex3]2[/tex3] º grau em relação a [tex3]h[/tex3] , você encontrará:
[tex3]h=(\frac{2\sqrt{3}-3}{2})a[/tex3]
Cálculo da área do [tex3]\Delta DCB[/tex3] :
[tex3]A= \frac{(DC).(CB). sen \alpha}{2}[/tex3]
[tex3]A= \frac{(\frac{2\sqrt{3}-3}{2})a.2a.\frac{1}{2}}{2}[/tex3]
[tex3]A= (\frac{2\sqrt{3}-3}{4})a^2[/tex3]
Como são dois triângulos a área hachurada é igual a :
[tex3]A_{hac}= 2.(\frac{2\sqrt{3}-3}{4})a^2[/tex3]
[tex3]A_{hac}= \frac{a^2}{2}(2\sqrt{3}-3)[/tex3]
Alternativa: e
[tex3](DB)= \frac{a\sqrt{13}}{2}[/tex3]
Cálculo de [tex3]h[/tex3] aplicando o Teorema dos cossenos no [tex3]\Delta DCB[/tex3] .
[tex3](\frac{a\sqrt{13}}{2})^2 = (2a)^2 + h^2 - 2.2ah.cos 30[/tex3] º
[tex3]\frac{13a^2}{4}= 4a^2+h^2 - 4ha.\frac{sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]13a^2 = 16a^2 + 4h^2 - 8h\sqrt{3}a[/tex3]
[tex3]4h^2 - 8a\sqrt{3}h + 3a^2 =0[/tex3]
Resolvendo essa equação do [tex3]2[/tex3] º grau em relação a [tex3]h[/tex3] , você encontrará:
[tex3]h=(\frac{2\sqrt{3}-3}{2})a[/tex3]
Cálculo da área do [tex3]\Delta DCB[/tex3] :
[tex3]A= \frac{(DC).(CB). sen \alpha}{2}[/tex3]
[tex3]A= \frac{(\frac{2\sqrt{3}-3}{2})a.2a.\frac{1}{2}}{2}[/tex3]
[tex3]A= (\frac{2\sqrt{3}-3}{4})a^2[/tex3]
Como são dois triângulos a área hachurada é igual a :
[tex3]A_{hac}= 2.(\frac{2\sqrt{3}-3}{4})a^2[/tex3]
[tex3]A_{hac}= \frac{a^2}{2}(2\sqrt{3}-3)[/tex3]
Alternativa: e
Última edição: adrianotavares (Seg 03 Nov, 2008 15:38). Total de 1 vez.
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