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Mensagem não lidapor **Mandynha** » 30 Out 2008, 17:16 · Mensagem não lida por **Mandynha** » 30 Out 2008, 17:16

Em um triângulo eqüilátero de lado [tex3]2a[/tex3] , traçam-se, com centro em [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] , dois arcos de circunferência de mesmo raio [tex3]\frac{a\sqrt{13}}{2}[/tex3] que se interceptam em [tex3]D[/tex3] . A área da região hachurada vale:

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a) [tex3]a^2(2\sqrt{3}-2)[/tex3]
b) [tex3]\frac{a^2}{2}(2-\sqrt{3})[/tex3]
c) [tex3]\frac{a^2}{2}(4-\sqrt{3})[/tex3]
d) [tex3]a^2(4-\sqrt{3})[/tex3]
e) [tex3]\frac{a^2}{2}(2\sqrt{3}-3)[/tex3]

03 Nov 2008, 15:38

Olá, Mandynha.

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[tex3](DB)= \frac{a\sqrt{13}}{2}[/tex3]

Cálculo de [tex3]h[/tex3] aplicando o Teorema dos cossenos no [tex3]\Delta DCB[/tex3] .

[tex3](\frac{a\sqrt{13}}{2})^2 = (2a)^2 + h^2 - 2.2ah.cos 30[/tex3] º

[tex3]\frac{13a^2}{4}= 4a^2+h^2 - 4ha.\frac{sqrt{3}}{2}[/tex3]

[tex3]13a^2 = 16a^2 + 4h^2 - 8h\sqrt{3}a[/tex3]

[tex3]4h^2 - 8a\sqrt{3}h + 3a^2 =0[/tex3]

Resolvendo essa equação do [tex3]2[/tex3] º grau em relação a [tex3]h[/tex3] , você encontrará:

[tex3]h=(\frac{2\sqrt{3}-3}{2})a[/tex3]

Cálculo da área do [tex3]\Delta DCB[/tex3] :

[tex3]A= \frac{(DC).(CB). sen \alpha}{2}[/tex3]

[tex3]A= \frac{(\frac{2\sqrt{3}-3}{2})a.2a.\frac{1}{2}}{2}[/tex3]

[tex3]A= (\frac{2\sqrt{3}-3}{4})a^2[/tex3]

Como são dois triângulos a área hachurada é igual a :

[tex3]A_{hac}= 2.(\frac{2\sqrt{3}-3}{4})a^2[/tex3]

[tex3]A_{hac}= \frac{a^2}{2}(2\sqrt{3}-3)[/tex3]

Alternativa: e

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