Pré-Vestibular ⇒ Geometria plana Tópico resolvido

[Heisenberg1]

Considere um triângulo retângulo ABC de hipotenusa BC = 10 e cateto AB = 8. Sobre BC marcamos um ponto D tal que BD = 7.



Nessas condições pede-se 5/13 AD2

Resposta

---

9

eu usei lei dos cossenos, mas não cheguei em 9, então queria ver possivelmente o meu erro

[deOliveira]

[tex3]\overline{BC}=10\\\overline{AB}=8\\\implies (\overline {BC})^2=(\overline{AB})^2+(\overline{AC})^2\\\implies 100=64+(\overline {AC})^2\\\implies \overline{AC}=6[/tex3]

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[tex3]\overline{BC}=10\\\overline{AB}=8\\\implies (\overline {BC})^2=(\overline{AB})^2+(\overline{AC})^2\\\implies 100=64+(\overline {AC})^2\\\implies \overline{AC}=6[/tex3]

[tex3]\cos \hat B=\frac{\overline{AC}}{\overline{BC}}=\frac8{10}=\frac45[/tex3]

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[tex3]\cos \hat B=\frac{\overline{AC}}{\overline{BC}}=\frac8{10}=\frac45[/tex3]

Pela lei dos cossenos temos que:

[tex3](\overline{AD})^2=(\overline{AB})^2+(\overline{BD})^2-2(\overline{AB})(\overline{BD})\cos \hat B\\(\overline{AD})^2=64+49-2\cdot8\cdot7\cdot\frac45\\(\overline{AD})^2=113-\frac{448}5\\(\overline{AD})^2=\frac{117}5[/tex3]

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[tex3](\overline{AD})^2=(\overline{AB})^2+(\overline{BD})^2-2(\overline{AB})(\overline{BD})\cos \hat B\\(\overline{AD})^2=64+49-2\cdot8\cdot7\cdot\frac45\\(\overline{AD})^2=113-\frac{448}5\\(\overline{AD})^2=\frac{117}5[/tex3]

[tex3]\implies \frac5{13}(\overline {AD})^2=\frac5{13}\cdot\frac{117}5=\frac{117}{13}=9[/tex3]

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[tex3]\implies \frac5{13}(\overline {AD})^2=\frac5{13}\cdot\frac{117}5=\frac{117}{13}=9[/tex3]

Espero ter ajudado .

[rodBR]

Uma outra Solução...

Solução:
Como um triângulo retângulo inscrito em uma circunferência a hipotenusa corresponde ao diâmetro, vamos representar o triângulo [tex3]ABC[/tex3]

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[tex3]ABC[/tex3]

inscrito na circunferência de centro [tex3]O[/tex3]

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[tex3]O[/tex3]

para facilitar a visualização:

4.png (7 KiB) Exibido 1351 vezes

Assim, temos:
[tex3]\begin{cases}\overline{AB}=8\\
\overline{BO}=5\\
\overline{AO}=raio\implies \boxed{\overline{AO}=5}\\
\overline{OD}=\overline{BD}-\overline{BO}=7-5\implies \boxed{\overline{OD}=2}\\
\overline{DC}=\overline{BC}-\overline{BD}=10-7\implies \boxed{\overline{DC}=3}\\
Por \ Teo. \ Pit. \implies \boxed{\overline{AC}=6}
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}\overline{AB}=8\\
\overline{BO}=5\\
\overline{AO}=raio\implies \boxed{\overline{AO}=5}\\
\overline{OD}=\overline{BD}-\overline{BO}=7-5\implies \boxed{\overline{OD}=2}\\
\overline{DC}=\overline{BC}-\overline{BD}=10-7\implies \boxed{\overline{DC}=3}\\
Por \ Teo. \ Pit. \implies \boxed{\overline{AC}=6}
\end{cases}[/tex3]

Pelo Teorema de Stewart, segue que:
[tex3](\overline{AC})^2\cdot \overline{OD}+(\overline{AO})^2\cdot \overline{DC}=\overline{OC}\cdot((\overline{AD})^2+\overline{OD}\cdot \overline{DC})\\
6^2\cdot2+5^2\cdot3=5\cdot((\overline{AD})^2+2\cdot3)\\
72+75=5\cdot((\overline{AD})^2+6)\\
(\overline{AD})^2=\frac{147}{5}-6\\
\boxed{(\overline{AD})^2=\frac{117}{5}}[/tex3]

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[tex3](\overline{AC})^2\cdot \overline{OD}+(\overline{AO})^2\cdot \overline{DC}=\overline{OC}\cdot((\overline{AD})^2+\overline{OD}\cdot \overline{DC})\\
6^2\cdot2+5^2\cdot3=5\cdot((\overline{AD})^2+2\cdot3)\\
72+75=5\cdot((\overline{AD})^2+6)\\
(\overline{AD})^2=\frac{147}{5}-6\\
\boxed{(\overline{AD})^2=\frac{117}{5}}[/tex3]

Assim,
[tex3]E=\frac{5}{13}\cdot(\overline{AD})^2\\
E=\frac{\cancel5}{13}\cdot\frac{117}{\cancel5}\\
E=\frac{117}{13}\\
\boxed{\boxed{E=9}}[/tex3]

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[tex3]E=\frac{5}{13}\cdot(\overline{AD})^2\\
E=\frac{\cancel5}{13}\cdot\frac{117}{\cancel5}\\
E=\frac{117}{13}\\
\boxed{\boxed{E=9}}[/tex3]

att>>rodBR