Pré-Vestibular(Simulado Poliedro) Geometria espacial

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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thetruthFMA
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Fev 2020 13 23:44

(Simulado Poliedro) Geometria espacial

Mensagem não lida por thetruthFMA »

Determinado bloco de acrílico em forma de um prisma quadrangular regular com 16 cm de altura tem como base um quadrado com 8 cm de lado. Uma empresa confecciona troféus a partir de blocos como esse, dividindo cada bloco em dois poliedros idênticos, por meio de um corte plano que contém uma das diagonais do bloco e dois pontos médios de suas arestas, conforme mostrado na figura a seguir.
Screenshot_20200213_234242.jpg
Screenshot_20200213_234242.jpg (16.92 KiB) Exibido 1305 vezes
As inscrições de campeão e vice-campeão são feitas nas faces em forma de losango criadas pelo corte diagonal.

Considerando V2=2 e V3=1,7, a área da face onde são feitas as inscrições, em cada um desses poliedros, é de, aproximadamente,
Resposta

109 cm²
Não estou conseguindo visualizar a diagonal menor...

Última edição: thetruthFMA (Qui 13 Fev, 2020 23:44). Total de 1 vez.


desde já agradeço pela ajuda pessoal! Arigatou!

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lookez
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Fev 2020 14 01:46

Re: (Simulado Poliedro) Geometria espacial

Mensagem não lida por lookez »

img.jpg
img.jpg (33.62 KiB) Exibido 1294 vezes
A diagonal do bloco mencionada é a [tex3]\overline{AC}[/tex3] indicada em vermelho, os pontos médios são os pontos [tex3]D[/tex3] e [tex3]E[/tex3] indicados em amarelo. Ligando-os formamos a diagonal menor [tex3]\overline{DE}[/tex3] do losango, que é claramente igual as diagonais das bases do bloco, que são quadrados, todas indicadas em azul. Como sabemos o lado do quadrado podemos calcular a diagonal [tex3]\overline{DE}=8\sqrt2[/tex3] .

Quanto a diagonal maior [tex3]\overline{AC}[/tex3] do losango indicada em vermelho, que é também diagonal do bloco, basta fazer um pitágoras no triângulo retângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3] , temos os catetos [tex3]\overline{BC}=16[/tex3] e [tex3]\overline{AB}=8\sqrt2[/tex3] , logo [tex3]\overline{AC}=8\sqrt6[/tex3] .

A área de um losango é a metade do produto das diagonais:
[tex3]A=\frac{D\cdot d}{2}=\frac{8\sqrt2\cdot8\sqrt6}{2}=\boxed{64\sqrt3\approx109}[/tex3]

Última edição: lookez (Sex 14 Fev, 2020 01:49). Total de 1 vez.



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