Pré-Vestibular

Sejam g0, g1:[tex3]\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex3] as seguintes funções:

[tex3]g0(x)=\frac{|x+2|-|x-2|}{2}[/tex3]

[tex3]g1(x)=\frac{g0(4x+6)+g0(4x-6)}{2}[/tex3]

a) Faça o esboço do gráfico de g0.

b) Faça o esboço do gráfico de g1.

c) Resolva a inequação [tex3]g1(x)\leq \frac{x}{2}[/tex3] .

Resposta

Gabarito do item c: [-4, [tex3]\frac{-4}{3}[/tex3] ] U [0, [tex3]\frac{4}{3}[/tex3] ] U [4, +[tex3]\infty )[/tex3]

Não entendi a questão em si. Além disso, não consegui ao menos esborçar os gráficos.

a) [tex3]g_0(x)=\frac{|x+2|-|x-2|}{2}[/tex3]

Relembrando a definição de módulo: |a| = a, se a > 0; |a| = -a, se a < 0. Então:
[tex3]|x+2|=x+2[/tex3] , se [tex3]x+2\ge0\rightarrow x\ge-2[/tex3] (caso 1), e [tex3]|x+2|=-x-2[/tex3] , se [tex3]x+2<0\rightarrow x<-2[/tex3] (caso 2).

Além disso, [tex3]|x-2|=x-2[/tex3] , se [tex3]x-2\ge0\rightarrow x\ge2[/tex3] (caso 3), e [tex3]|x-2|=-x+2[/tex3] , se [tex3]x-2<0\rightarrow x<2[/tex3] (caso 4).

Então, com base nisso, vamos considerar g0(x) a partir de intervalos. Quando:

i) Quando [tex3]x\le-2[/tex3] (casos 2 e 4) -> [tex3]g_0(x)=\frac{(-x-2)-(-x+2)}{2}=-2[/tex3] . Sim, independe de x nesse caso, faça o teste.
ii) Quando [tex3]-2< x<2[/tex3] (casos 1 e 4) -> [tex3]g_0(x)=\frac{(x+2)-(-x+2)}{2}=0[/tex3]
iii) Quando [tex3]x\ge2[/tex3] (casos 1 e 3) -> [tex3]g_0(x)=\frac{(x+2)-(x-2)}{2}=2[/tex3]

Tente fazer a letra b).

O raciocínio será o mesmo. Não conhecemos (4x + 6). É positivo, negativo? Temos que fazer essa análise com os dois módulos presentes.

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