Vamos encontrar [tex3]f[/tex3]
.
Como o vértice de [tex3]f[/tex3]
é [tex3](0,6)[/tex3]
temos que o eixo y é o eixo de simetria da parábola.
Dessa forma, como [tex3]P[/tex3]
e [tex3]R[/tex3]
são as raízes de [tex3]f[/tex3]
temos que a distância de [tex3]P[/tex3]
até [tex3]O[/tex3]
(origem) é igual a distância de [tex3]R[/tex3]
até a [tex3]O[/tex3]
.
Então:
[tex3]\begin{cases}P-R=2\sqrt6\\P-0=\sqrt6\\0-R=\sqrt6\end{cases}\implies \begin{cases}P=\sqrt6\\R=-\sqrt6\end{cases}[/tex3]
Então como a concavidade de [tex3]f[/tex3]
é para baixo temos que
[tex3]f(x)=-(x-\sqrt6)(x+\sqrt6)=-x^2+6[/tex3]
Vamos encontrar [tex3]g[/tex3]
.
Como o vértice de [tex3]g[/tex3]
é [tex3](-2,-6)[/tex3]
e [tex3]S[/tex3]
e [tex3]Q[/tex3]
são raízes de [tex3]g[/tex3]
temos que a reta [tex3]x=-2[/tex3]
é o eixo de simetria da parábola.
Então a distância de [tex3]S[/tex3]
a [tex3]-2[/tex3]
é igual a distância de [tex3]Q[/tex3]
a [tex3]-2[/tex3]
.
Então:
[tex3]\begin{cases}Q-S=2\sqrt6\\-2-S=\sqrt6\\Q-(-2)=\sqrt6\end{cases}\implies\begin{cases}S=-\sqrt6-2\\Q=\sqrt6-2\end{cases}[/tex3]
Então omo a concavidade de [tex3]g[/tex3]
é para cima temos que
[tex3]g(x)=(x-(-\sqrt6-2))(x-(\sqrt6-2))\\g(x)=(x+\sqrt6+2)(x-\sqrt6+2)\\g(x)=x^2+4x-2[/tex3]
Dessa forma, [tex3]f(x)+g(x)=-x^2+6+x^2+4x-2=4x+4[/tex3]
Espero ter ajudado
.
Saudações.