Pré-Vestibular ⇒ (Cefet - PR) Trigonometria - questão trabalhosa Tópico resolvido

[Jhonatan]

Dada a equação [tex3]\frac{\cos\alpha\[(\sec\alpha)-(\cossec\alpha)\]\cdot\[(\sen^3\alpha)+(\cos^3\alpha)\]}{\[(\sen^2\alpha)-(\cos^2\alpha)\]\cdot\[1-(\sen\alpha)(\cos\alpha)\]}=2[/tex3]

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[tex3]\frac{\cos\alpha\[(\sec\alpha)-(\cossec\alpha)\]\cdot\[(\sen^3\alpha)+(\cos^3\alpha)\]}{\[(\sen^2\alpha)-(\cos^2\alpha)\]\cdot\[1-(\sen\alpha)(\cos\alpha)\]}=2[/tex3]

, o valor de α, (0 ≤α ≤ π/2) que satisfaz, em sua forma geral, é:

a) π/3 + kπ, k ∈ Z

b) π/3 + 2kπ, k ∈ Z

c) π/6 + kπ, k ∈ Z

d) π/6 + 2kπ, k ∈ Z

e) o valor de α não pode ser determinado.

Resposta

---

d)

Alguém sabe resolver ? obrigado.

[deOliveira]

Vamos precisar dos seguinte produtos notáveis [tex3]a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)[/tex3]

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[tex3]a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)[/tex3]

e [tex3]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex3]

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[tex3]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex3]

e da relação fundamental da trigonometria [tex3]\sen^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/tex3]

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[tex3]\sen^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/tex3]

.

[tex3]\frac{\cos\alpha[(\sec\alpha)-(\cossec\alpha)]\cdot[(\sen^3\alpha)+(\cos^3\alpha)]}{[(\sen^2\alpha)-(\cos^2\alpha)]\cdot[1-(\sen\alpha)(\cos\alpha)]}=2[/tex3]

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[tex3]\frac{\cos\alpha[(\sec\alpha)-(\cossec\alpha)]\cdot[(\sen^3\alpha)+(\cos^3\alpha)]}{[(\sen^2\alpha)-(\cos^2\alpha)]\cdot[1-(\sen\alpha)(\cos\alpha)]}=2[/tex3]

Vamos fatorar [tex3](\sen^2\alpha)-(\cos^2\alpha)[/tex3]

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[tex3](\sen^2\alpha)-(\cos^2\alpha)[/tex3]

e [tex3](\sen^3\alpha)+(\cos^3\alpha)[/tex3]

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[tex3](\sen^3\alpha)+(\cos^3\alpha)[/tex3]

[tex3]\frac{\cos\alpha[(\sec\alpha)-(\cossec\alpha)]\cdot[(\sen\alpha)+(\cos \alpha)]\cdot[(\sen^2\alpha)-(\sen\alpha)(\cos\alpha)+(\cos^2\alpha)]}{[(\sen\alpha)+(\cos\alpha)]\cdot[(\sen\alpha)-\cos\alpha)]\cdot[1-(\sen\alpha)(\cos\alpha)]}=2\\
\frac{\cos\alpha[(\sec\alpha)-(\cossec\alpha)]\cdot\cancel{[(\sen\alpha)+(\cos \alpha)]}\cdot[(\sen^2\alpha)-(\sen\alpha)(\cos\alpha)+(\cos^2\alpha)]}{\cancel{[(\sen\alpha)+(\cos\alpha)]}\cdot[(\sen\alpha)-\cos\alpha)]\cdot[1-(\sen\alpha)(\cos\alpha)]}=2\\
\frac{\cos\alpha[(\sec\alpha)-(\cossec\alpha)]\cdot[(\sen^2\alpha)-(\sen\alpha)(\cos\alpha)+(\cos^2\alpha)]}{[(\sen\alpha)-\cos\alpha)]\cdot[1-(\sen\alpha)(\cos\alpha)]}=2[/tex3]

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[tex3]\frac{\cos\alpha[(\sec\alpha)-(\cossec\alpha)]\cdot[(\sen\alpha)+(\cos \alpha)]\cdot[(\sen^2\alpha)-(\sen\alpha)(\cos\alpha)+(\cos^2\alpha)]}{[(\sen\alpha)+(\cos\alpha)]\cdot[(\sen\alpha)-\cos\alpha)]\cdot[1-(\sen\alpha)(\cos\alpha)]}=2\\
\frac{\cos\alpha[(\sec\alpha)-(\cossec\alpha)]\cdot\cancel{[(\sen\alpha)+(\cos \alpha)]}\cdot[(\sen^2\alpha)-(\sen\alpha)(\cos\alpha)+(\cos^2\alpha)]}{\cancel{[(\sen\alpha)+(\cos\alpha)]}\cdot[(\sen\alpha)-\cos\alpha)]\cdot[1-(\sen\alpha)(\cos\alpha)]}=2\\
\frac{\cos\alpha[(\sec\alpha)-(\cossec\alpha)]\cdot[(\sen^2\alpha)-(\sen\alpha)(\cos\alpha)+(\cos^2\alpha)]}{[(\sen\alpha)-\cos\alpha)]\cdot[1-(\sen\alpha)(\cos\alpha)]}=2[/tex3]

Vamos usar a relação fundamental em [tex3][(\sen^2\alpha)-(\sen\alpha)(\cos\alpha)+(\cos^2\alpha)]=[1-(\sen\alpha)(\cos\alpha)][/tex3]

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[tex3][(\sen^2\alpha)-(\sen\alpha)(\cos\alpha)+(\cos^2\alpha)]=[1-(\sen\alpha)(\cos\alpha)][/tex3]

[tex3]\frac{\cos\alpha[(\sec\alpha)-(\cossec\alpha)]\cdot[1-(\sen\alpha)(\cos\alpha)]}{[(\sen\alpha)-\cos\alpha)]\cdot[1-(\sen\alpha)(\cos\alpha)]}=2\\\frac{\cos\alpha[(\sec\alpha)-(\cossec\alpha)]\cdot\cancel{[1-(\sen\alpha)(\cos\alpha)]}}{[(\sen\alpha)-\cos\alpha)]\cdot\cancel{[1-(\sen\alpha)(\cos\alpha)]}}=2\\
\frac{\cos\alpha[(\sec\alpha)-(\cossec\alpha)]}{[(\sen\alpha)-\cos\alpha)]}=2\\
\frac{\cos\alpha\left[\frac1{\cos\alpha}-\frac1{\sen\alpha}\right]}{(\sen\alpha)-(\cos\alpha)}=2\\
\cos\alpha\cdot\frac{[(\sen\alpha)-(\cos\alpha)]}{[(\sen\alpha)(\cos\alpha)]}\cdot\frac{1}{[(\sen\alpha)-(\cos\alpha)]}=2\\
\cancel{\cos\alpha}\cdot\frac{\cancel{[(\sen\alpha)-(\cos\alpha)]}}{[(\sen\alpha)\cancel{(\cos\alpha)}]}\cdot\frac{1}{\cancel{[(\sen\alpha)-(\cos\alpha)]}}=2\\
\frac1{\sen\alpha}=2\\
\sen\alpha=\frac12\\\therefore\alpha=\frac\pi6+2k\pi,\hspace2mmk\in\mathbb Z[/tex3]

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[tex3]\frac{\cos\alpha[(\sec\alpha)-(\cossec\alpha)]\cdot[1-(\sen\alpha)(\cos\alpha)]}{[(\sen\alpha)-\cos\alpha)]\cdot[1-(\sen\alpha)(\cos\alpha)]}=2\\\frac{\cos\alpha[(\sec\alpha)-(\cossec\alpha)]\cdot\cancel{[1-(\sen\alpha)(\cos\alpha)]}}{[(\sen\alpha)-\cos\alpha)]\cdot\cancel{[1-(\sen\alpha)(\cos\alpha)]}}=2\\
\frac{\cos\alpha[(\sec\alpha)-(\cossec\alpha)]}{[(\sen\alpha)-\cos\alpha)]}=2\\
\frac{\cos\alpha\left[\frac1{\cos\alpha}-\frac1{\sen\alpha}\right]}{(\sen\alpha)-(\cos\alpha)}=2\\
\cos\alpha\cdot\frac{[(\sen\alpha)-(\cos\alpha)]}{[(\sen\alpha)(\cos\alpha)]}\cdot\frac{1}{[(\sen\alpha)-(\cos\alpha)]}=2\\
\cancel{\cos\alpha}\cdot\frac{\cancel{[(\sen\alpha)-(\cos\alpha)]}}{[(\sen\alpha)\cancel{(\cos\alpha)}]}\cdot\frac{1}{\cancel{[(\sen\alpha)-(\cos\alpha)]}}=2\\
\frac1{\sen\alpha}=2\\
\sen\alpha=\frac12\\\therefore\alpha=\frac\pi6+2k\pi,\hspace2mmk\in\mathbb Z[/tex3]

Espero ter ajudado .

[Jhonatan]

Caramba, que resolução trabalhosa!!!!!
E, novamente, sem novidades uma resolução tão completa vindo de alguém tão inteligente.
Muito obrigado, fera deOliveira!!!!

[deOliveira]

Caramba, que resolução trabalhosa!!!!!
E, novamente, sem novidades uma resolução tão completa vindo de alguém tão inteligente.
Muito obrigado, fera deOliveira!!!!

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