Pré-Vestibular ⇒ (UEFS 2016.1) Trigonometria Tópico resolvido

[SérgioBH]

O número de soluções da equação cos(2x) = 2cos(x) , no intervalo 0 [tex3]\leq [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\leq [/tex3]

x < 2 [tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

, é:

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

[deOliveira]

[tex3]\cos(2x)=2\cos x\\\cos^2x-\sen^2x=2\cos x\\\cos^2x-(1-\cos^2 x)=2\cos x\\2\cos^2 x-2\cos x-1=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos(2x)=2\cos x\\\cos^2x-\sen^2x=2\cos x\\\cos^2x-(1-\cos^2 x)=2\cos x\\2\cos^2 x-2\cos x-1=0[/tex3]

Vamos fazer uma substituição.
[tex3]t=\cos x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t=\cos x[/tex3]

[tex3]2t^2-2t-1=0\\\Delta=4+4\cdot8=12\\t=\frac{2\pm2\sqrt3}{4}=\frac{1\pm\sqrt3}2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2t^2-2t-1=0\\\Delta=4+4\cdot8=12\\t=\frac{2\pm2\sqrt3}{4}=\frac{1\pm\sqrt3}2[/tex3]

[tex3]t=\frac{1+\sqrt3}2\approx1,366>1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t=\frac{1+\sqrt3}2\approx1,366>1[/tex3]

então não convém
[tex3]t=\frac{1-\sqrt3}2\approx-0,366[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t=\frac{1-\sqrt3}2\approx-0,366[/tex3]

Então temos que [tex3]\cos x=\frac{1-\sqrt3}2<0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos x=\frac{1-\sqrt3}2<0[/tex3]

, logo temos duas soluções no intervalo [tex3]0\le x\le 2\pi[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0\le x\le 2\pi[/tex3]

, uma no segundo e uma no terceiro quadrante que é onde o cosseno é negativo.
Reposta: C

Espero ter ajudado .

[SérgioBH]

show!! entendi. Pensei em outra coisa também.. vê se está certo:
2cos²x - 2cosx = 1
2cosx.(cosx - 1) = 1
daí duas possibilidades:
2cosx = 1 --- cosx = 1/2 --- duas soluções, x sendo 60 ou 300
ou
cosx - 1 = 1 --- não convém

[deOliveira]

Não tá certo não...
Quando você tem [tex3]a,b\in\mathbb R[/tex3]

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[tex3]a,b\in\mathbb R[/tex3]

[tex3]ab=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ab=1[/tex3]

você não pode afirmar que [tex3]a=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=1[/tex3]

e [tex3]b=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b=1[/tex3]

E basta você substituir o [tex3]\cos x=\frac12[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos x=\frac12[/tex3]

que você vê que não dá certo.
[tex3]2\left(\frac12\right)^2-2\cdot\frac12=\frac12-1=-\frac 12\ne 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\left(\frac12\right)^2-2\cdot\frac12=\frac12-1=-\frac 12\ne 1[/tex3]

[rodBR]

Quando você tem [tex3]ab=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ab=1[/tex3]

você não pode afirmar que [tex3]a=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=1[/tex3]

e [tex3]b=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b=1[/tex3]

Só poderia se [tex3]a,b\in\mathbb{Z}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a,b\in\mathbb{Z}[/tex3]

que são as equações Diofantinas, além disso teria outro caso, mas esse é um outro contexto...

[deOliveira]

rodBR, eu coloquei [tex3]a,b\in\mathbb R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a,b\in\mathbb R[/tex3]

para ficar completo.
Boa observação, obrigada .

[SérgioBH]

entendi. muito obrigado !!

[snooplammer]

Uma outra solução seria por gráficos, é bem de boa também