Olá
Eduardo2004, bom dia!
Solução:
Seja [tex3]D[/tex3]
sobre [tex3]OA[/tex3]
tal que [tex3]BD\parallel CA[/tex3]
, então [tex3]DA=2\implies OD=8[/tex3]
Desse paralelismo, ainda temos:
[tex3]\begin{cases}
\angle ODB =\angle DAC=\alpha\\
\angle ODB=\angle DBC=\alpha\iff\angle OBD=2\alpha
\end{cases}[/tex3]
Lei dos Senos em [tex3]\Delta OBD[/tex3]
:
[tex3]\frac{5}{\sen(\alpha)}=\frac{8}{\sen(2\alpha)}\\
\frac{\sen(2\alpha)}{\sen(\alpha)}=\frac{8}{5}[/tex3]
Utilizando o Seno do arco duplo:
[tex3]\frac{2\cancel{\sen(\alpha)}\cdot\cos(\alpha)}{\cancel{\sen(\alpha)}}=\frac{8}{5}\\
\cos(\alpha)=\frac{4}{5}\implies \boxed{\boxed{\sen(\alpha)=\frac{3}{5}}}[/tex3]
Prolongue [tex3]BC[/tex3]
até encontrar o [tex3]OY[/tex3]
em [tex3]E[/tex3]
Como [tex3]\angle CBO=2\alpha\implies \angle OBE=180^{\circ}-3\alpha[/tex3]
Então, no triângulo retângulo [tex3]OBE[/tex3]
, teos:
[tex3]\sen(180^{\circ}-3\alpha)=\frac{OE}{5}\\
\sen(3\alpha)=\frac{OE}{5}\\
\boxed{\boxed{OE=5\cdot\sen(\alpha)}} \ (*)[/tex3]
Mas,
[tex3]\sen(3\alpha)=-4\sen^3(\alpha)+3\sen(\alpha)\\
\sen(3\alpha)=-4\cdot\(\frac{3}{5}\)^3+3\cdot\frac{3}{5}\\
\sen(3\alpha)=-\frac{108}{125}+\frac{9}{5}\\
\sen(3\alpha)=-\frac{108}{125}+\frac{225}{125}\\
\boxed{\sen(3\alpha)=\frac{117}{125}} \ (**)[/tex3]
Substituindo [tex3](**)[/tex3]
em [tex3](*)[/tex3]
, segue que:
[tex3]OE=5\cdot\frac{117}{125}\\
\boxed{OE=\frac{117}{25}} \ (***)[/tex3]
Seja [tex3]F[/tex3]
sobre [tex3]OA[/tex3]
tal que [tex3]CF\perp OA[/tex3]
Do triângulo [tex3]CFA[/tex3]
:
[tex3]\sen(\alpha)=\frac{OF}{AC}[/tex3]
. Como [tex3]CF=OE[/tex3]
, usando [tex3](***)[/tex3]
e [tex3]\sen(\alpha)=\frac{3}{5}[/tex3]
temos:
[tex3]\sen(\alpha)=\frac{OE}{AC}\\
\frac{3}{5}=\frac{\frac{117}{25}}{AC}\\
AC=\frac{117}{25}\cdot\frac{5}{3}\\
\boxed{\boxed{AC=\frac{39}{5}}}[/tex3]
- 4.png (10.2 KiB) Exibido 1183 vezes
att>>rodBR
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".