Pré-Vestibular(UNI) Gráfico Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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Eduardo2004
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(UNI) Gráfico

Mensagem não lida por Eduardo2004 »

No gráfico, [tex3]OA\parallel BC[/tex3] , [tex3]BC=2[/tex3] e [tex3]OB=5[/tex3] . Calcule [tex3]AC[/tex3] .
edu.PNG
edu.PNG (8.9 KiB) Exibido 1392 vezes
a) [tex3]\frac{41}{5}[/tex3]
b) [tex3]\frac{37}{5}[/tex3]
c) [tex3]\frac{38}{5}[/tex3]
d) [tex3]\frac{39}{5}[/tex3]
e) [tex3]\frac{42}{5}[/tex3]
Resposta

d

Última edição: caju (Qua 08 Jan, 2020 22:20). Total de 1 vez.
Razão: colocar tex nas expressões matemáticas.



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rodBR
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Jan 2020 09 10:36

Re: (UNI) Gráfico

Mensagem não lida por rodBR »

Olá Eduardo2004, bom dia!

Solução:
Seja [tex3]D[/tex3] sobre [tex3]OA[/tex3] tal que [tex3]BD\parallel CA[/tex3] , então [tex3]DA=2\implies OD=8[/tex3]
Desse paralelismo, ainda temos:
[tex3]\begin{cases}
\angle ODB =\angle DAC=\alpha\\
\angle ODB=\angle DBC=\alpha\iff\angle OBD=2\alpha
\end{cases}[/tex3]

Lei dos Senos em [tex3]\Delta OBD[/tex3] :
[tex3]\frac{5}{\sen(\alpha)}=\frac{8}{\sen(2\alpha)}\\
\frac{\sen(2\alpha)}{\sen(\alpha)}=\frac{8}{5}[/tex3]
Utilizando o Seno do arco duplo:
[tex3]\frac{2\cancel{\sen(\alpha)}\cdot\cos(\alpha)}{\cancel{\sen(\alpha)}}=\frac{8}{5}\\
\cos(\alpha)=\frac{4}{5}\implies \boxed{\boxed{\sen(\alpha)=\frac{3}{5}}}[/tex3]


Prolongue [tex3]BC[/tex3] até encontrar o [tex3]OY[/tex3] em [tex3]E[/tex3]
Como [tex3]\angle CBO=2\alpha\implies \angle OBE=180^{\circ}-3\alpha[/tex3]
Então, no triângulo retângulo [tex3]OBE[/tex3] , teos:
[tex3]\sen(180^{\circ}-3\alpha)=\frac{OE}{5}\\
\sen(3\alpha)=\frac{OE}{5}\\
\boxed{\boxed{OE=5\cdot\sen(\alpha)}} \ (*)[/tex3]

Mas,
[tex3]\sen(3\alpha)=-4\sen^3(\alpha)+3\sen(\alpha)\\
\sen(3\alpha)=-4\cdot\(\frac{3}{5}\)^3+3\cdot\frac{3}{5}\\
\sen(3\alpha)=-\frac{108}{125}+\frac{9}{5}\\
\sen(3\alpha)=-\frac{108}{125}+\frac{225}{125}\\
\boxed{\sen(3\alpha)=\frac{117}{125}} \ (**)[/tex3]

Substituindo [tex3](**)[/tex3] em [tex3](*)[/tex3] , segue que:
[tex3]OE=5\cdot\frac{117}{125}\\
\boxed{OE=\frac{117}{25}} \ (***)[/tex3]

Seja [tex3]F[/tex3] sobre [tex3]OA[/tex3] tal que [tex3]CF\perp OA[/tex3]
Do triângulo [tex3]CFA[/tex3] :
[tex3]\sen(\alpha)=\frac{OF}{AC}[/tex3] . Como [tex3]CF=OE[/tex3] , usando [tex3](***)[/tex3] e [tex3]\sen(\alpha)=\frac{3}{5}[/tex3] temos:
[tex3]\sen(\alpha)=\frac{OE}{AC}\\
\frac{3}{5}=\frac{\frac{117}{25}}{AC}\\
AC=\frac{117}{25}\cdot\frac{5}{3}\\
\boxed{\boxed{AC=\frac{39}{5}}}[/tex3]

4.png
4.png (10.2 KiB) Exibido 1183 vezes



att>>rodBR

Última edição: rodBR (Qui 09 Jan, 2020 10:39). Total de 1 vez.


"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".

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rodBR
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Jan 2020 16 19:12

Re: (UNI) Gráfico

Mensagem não lida por rodBR »

Um adendo em:
rodBR escreveu:
Qui 09 Jan, 2020 10:36
Como [tex3]\angle CBO=2\alpha\implies \angle OBE=180^{\circ}-3\alpha[/tex3]
Acabei não prestando a atenção na hora de digitar a solução.
O correto é: como [tex3]\angle CBO=3\alpha\implies \angle OBE=180^{\circ}-3\alpha[/tex3]


Abraços!

Última edição: rodBR (Qui 16 Jan, 2020 19:13). Total de 1 vez.


"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".

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