[tex3]f(x)=\sqrt {x-\frac {1}{x}} + \sqrt {1 - \frac {1}{x}}- x[/tex3]
b) encontre os valores de para os quais f(x)=0
Resposta
[tex3]\frac {1+\sqrt{5}}{2} (dupla)[/tex3]
Pré-Vestibular ⇒ Fuvest 2018 2a fase) Funções Tópico resolvido
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Dez 2019
17
15:16
Fuvest 2018 2a fase) Funções
Considere a função real definida por
[tex3]f(x)=\sqrt {x-\frac {1}{x}} + \sqrt {1 - \frac {1}{x}}- x[/tex3]
b) encontre os valores de para os quais f(x)=0
[tex3]\frac {1+\sqrt{5}}{2} (dupla)[/tex3]
Esse é o gabarito que eu retirei do site do Objetivo. Não entendi a resolução, nem o que significa "dupla" (é a consideração da raiz positiva e negativa de 5?). Alguém pode me ajudar, por favor?
[tex3]f(x)=\sqrt {x-\frac {1}{x}} + \sqrt {1 - \frac {1}{x}}- x[/tex3]
b) encontre os valores de para os quais f(x)=0
[tex3]\frac {1+\sqrt{5}}{2} (dupla)[/tex3]
Última edição: Augustus (Ter 17 Dez, 2019 15:17). Total de 1 vez.
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Dez 2019
17
16:11
Re: Fuvest 2018 2a fase) Funções
[tex3]f(x)=\sqrt {x-\frac {1}{x}} + \sqrt {1 - \frac {1}{x}}- x[/tex3]
O primeiro passo é perceber que [tex3]x\geq0[/tex3]
[tex3]\sqrt {x-\frac {1}{x}} + \sqrt {1 - \frac {1}{x}}- x=0\\ x=\sqrt {x-\frac {1}{x}} + \sqrt {1 - \frac {1}{x}}[/tex3]
Como [tex3]\sqrt {x-\frac {1}{x}}\geq0[/tex3] e [tex3]\sqrt {1 - \frac {1}{x}}\geq 0[/tex3] temos que [tex3]x\geq 0[/tex3]
Agora vamos resolver a equação
[tex3]\sqrt {x-\frac {1}{x}} + \sqrt {1 - \frac {1}{x}}- x=0\\[/tex3]
[tex3]\sqrt {x-\frac {1}{x}}=x- \sqrt {1 - \frac {1}{x}}[/tex3] vamos elevar os dois lados ao quadrado
[tex3]x-\frac {1}{x} =x^2-2x \sqrt {1 - \frac {1}{x}}+1-\frac1{x}[/tex3]
[tex3]x^2-x-2\sqrt{x^2-\frac{x^2}x}+1=0\\x^2-x-2\sqrt{x^2-x} +1=0[/tex3]
Seja [tex3]t=\sqrt{x^2-x}[/tex3] , assim temos
[tex3]t^2+-2t+1=0\\(t-1)^2=0\\ t=1[/tex3]
[tex3]1=\sqrt{x^2-x}\\x^2-x-1=0\\x=\frac{1\pm \sqrt5}2[/tex3]
Mas [tex3]x[/tex3] é positivo, então [tex3]x=\frac{1+\sqrt5}2[/tex3]
Agora tem de verificar se é raiz, é só substituir e fazer a conta.
Agora, dupla é sobre a multiplicidade da raiz, o x resulta em dois valores com multiplicidade 1 cada um deles, mas um deles não serve, então esse que serve vai ter multiplicidade 2. (Eu não sei se essa explicação ficou muito boa, mas dizer que a raiz é dupla não era necessário)
A minha resolução foi baseada na resolução do Poliedro, lembro dela de quando eu estava estudando para fuvest ano passado kkk
Espero ter ajudado
.
O primeiro passo é perceber que [tex3]x\geq0[/tex3]
[tex3]\sqrt {x-\frac {1}{x}} + \sqrt {1 - \frac {1}{x}}- x=0\\ x=\sqrt {x-\frac {1}{x}} + \sqrt {1 - \frac {1}{x}}[/tex3]
Como [tex3]\sqrt {x-\frac {1}{x}}\geq0[/tex3] e [tex3]\sqrt {1 - \frac {1}{x}}\geq 0[/tex3] temos que [tex3]x\geq 0[/tex3]
Agora vamos resolver a equação
[tex3]\sqrt {x-\frac {1}{x}} + \sqrt {1 - \frac {1}{x}}- x=0\\[/tex3]
[tex3]\sqrt {x-\frac {1}{x}}=x- \sqrt {1 - \frac {1}{x}}[/tex3] vamos elevar os dois lados ao quadrado
[tex3]x-\frac {1}{x} =x^2-2x \sqrt {1 - \frac {1}{x}}+1-\frac1{x}[/tex3]
[tex3]x^2-x-2\sqrt{x^2-\frac{x^2}x}+1=0\\x^2-x-2\sqrt{x^2-x} +1=0[/tex3]
Seja [tex3]t=\sqrt{x^2-x}[/tex3] , assim temos
[tex3]t^2+-2t+1=0\\(t-1)^2=0\\ t=1[/tex3]
[tex3]1=\sqrt{x^2-x}\\x^2-x-1=0\\x=\frac{1\pm \sqrt5}2[/tex3]
Mas [tex3]x[/tex3] é positivo, então [tex3]x=\frac{1+\sqrt5}2[/tex3]
Agora tem de verificar se é raiz, é só substituir e fazer a conta.
Agora, dupla é sobre a multiplicidade da raiz, o x resulta em dois valores com multiplicidade 1 cada um deles, mas um deles não serve, então esse que serve vai ter multiplicidade 2. (Eu não sei se essa explicação ficou muito boa, mas dizer que a raiz é dupla não era necessário)
A minha resolução foi baseada na resolução do Poliedro, lembro dela de quando eu estava estudando para fuvest ano passado kkk
Espero ter ajudado
.Saudações.
Dez 2019
17
16:49
Re: Fuvest 2018 2a fase) Funções
Ajudou, sim. Obrigado! Depois que os dois lados da equação tinham sido elevados ao quadrado, eu me perdi. É uma questão muito difícil, espero que questões assim não caiam esse ano, senão vou zerar tudo kkkkkkdeOliveira escreveu: ↑Ter 17 Dez, 2019 16:11[tex3]f(x)=\sqrt {x-\frac {1}{x}} + \sqrt {1 - \frac {1}{x}}- x[/tex3]
O primeiro passo é perceber que [tex3]x\geq0[/tex3]
[tex3]\sqrt {x-\frac {1}{x}} + \sqrt {1 - \frac {1}{x}}- x=0\\ x=\sqrt {x-\frac {1}{x}} + \sqrt {1 - \frac {1}{x}}[/tex3]
Como [tex3]\sqrt {x-\frac {1}{x}}\geq0[/tex3] e [tex3]\sqrt {1 - \frac {1}{x}}\geq 0[/tex3] temos que [tex3]x\geq 0[/tex3]
Agora vamos resolver a equação
[tex3]\sqrt {x-\frac {1}{x}} + \sqrt {1 - \frac {1}{x}}- x=0\\[/tex3]
[tex3]\sqrt {x-\frac {1}{x}}=x- \sqrt {1 - \frac {1}{x}}[/tex3] vamos elevar os dois lados ao quadrado
[tex3]x-\frac {1}{x} =x^2-2x \sqrt {1 - \frac {1}{x}}+1-\frac1{x}[/tex3]
[tex3]x^2-x-2\sqrt{x^2-\frac{x^2}x}+1=0\\x^2-x-2\sqrt{x^2-x} +1=0[/tex3]
Seja [tex3]t=\sqrt{x^2-x}[/tex3] , assim temos
[tex3]t^2+-2t+1=0\\(t-1)^2=0\\ t=1[/tex3]
[tex3]1=\sqrt{x^2-x}\\x^2-x-1=0\\x=\frac{1\pm \sqrt5}2[/tex3]
Mas [tex3]x[/tex3] é positivo, então [tex3]x=\frac{1+\sqrt5}2[/tex3]
Agora tem de verificar se é raiz, é só substituir e fazer a conta.
Agora, dupla é sobre a multiplicidade da raiz, o x resulta em dois valores com multiplicidade 1 cada um deles, mas um deles não serve, então esse que serve vai ter multiplicidade 2. (Eu não sei se essa explicação ficou muito boa, mas dizer que a raiz é dupla não era necessário)
A minha resolução foi baseada na resolução do Poliedro, lembro dela de quando eu estava estudando para fuvest ano passado kkk
Espero ter ajudado
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