Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST - 2013) Polinômios e raízes complexas Tópico resolvido

[Valdir]

Tem outra resolução nesse fórum, mas queria entender a resolução do Objetivo que vou colocar aqui e um caminho que encontrei, porém, não consigo fazer a letra a por completa.
Considere o polinômio [tex3]p(x)=x^4+1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x)=x^4+1[/tex3]

.
a) Ache todas as raízes complexas de [tex3]p(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x)[/tex3]

.
b) Escreva [tex3]p(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x)[/tex3]

como produto de dois polinômios de segundo grau, com coeficientes reais.

pbjj.JPG (39.59 KiB) Exibido 1586 vezes

Eu me perco na passagem da segunda para a terceira linha da resolução.
Meu caminho:
[tex3]p(x)=x^4+1= (x^2)^2+1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x)=x^4+1= (x^2)^2+1[/tex3]

[tex3](x^2)^2+1=(x^2+1i)\cdot (x^2-1i)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x^2)^2+1=(x^2+1i)\cdot (x^2-1i)=0[/tex3]

[tex3]x^2=-1i \therefore \space x=\sqrt {-1i} \space\space ou\space\space x^2=1i \therefore \space x^2=\sqrt{1i}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2=-1i \therefore \space x=\sqrt {-1i} \space\space ou\space\space x^2=1i \therefore \space x^2=\sqrt{1i}[/tex3]

Porém faltam duas e não se esta certo também.

Resposta

---

As respostas estão na imagem.

[Matheusrpb]

Valdir, boa tarde !

[tex3]\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|}\(\cis\(\frac{\theta +2k\pi}n\)\) \space → \space k = 0, 1,2,(n-1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|}\(\cis\(\frac{\theta +2k\pi}n\)\) \space → \space k = 0, 1,2,(n-1)[/tex3]

• Dessa forma:

[tex3]\sqrt[4]{x^4} = \sqrt 1\(\cis\(\frac{\pi + 2k\pi}4\)\) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[4]{x^4} = \sqrt 1\(\cis\(\frac{\pi + 2k\pi}4\)\) [/tex3]

• [tex3]k = 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k = 0 [/tex3]

[tex3]x_1 = \cis \(\frac \pi 4\) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_1 = \cis \(\frac \pi 4\) [/tex3]

• [tex3]k = 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k = 1[/tex3]

[tex3]x_2 = \cis \(\frac {3\pi}4\) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_2 = \cis \(\frac {3\pi}4\) [/tex3]

• [tex3]k = 2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k = 2[/tex3]

[tex3]x_3 = \cis \(\frac{5\pi}4\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_3 = \cis \(\frac{5\pi}4\)[/tex3]

• [tex3]k = 3 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k = 3 [/tex3]

[tex3]x_4 = \cis\(\frac{7\pi}4\) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_4 = \cis\(\frac{7\pi}4\) [/tex3]

[Valdir]

Matheusrpb, boa tarde!
Desculpa a demora, na sua segunda linha o 1 está positivo... Não entendi.
E tem alguma demonstração dessa fórmula que você colocou na primeira linha por favor?
[tex3]\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|}\(\cis\(\frac{\theta +2k\pi}n\)\) \space → \space k = 0, 1,2,(n-1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|}\(\cis\(\frac{\theta +2k\pi}n\)\) \space → \space k = 0, 1,2,(n-1)[/tex3]

Essa fórmula acima.

[Matheusrpb]

Valdir, boa tarde !

O 1 está positivo porque é o módulo do número, como eu coloquei na fórmula.

Essa fórmula é a 2ª Fórmula de De Moivre, se você pesquisar você consegue encontrar a demonstração.

[Valdir]

Matheusrpb,Oi, a fórmula que encontrei foi essa:
[tex3]\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|}\(\cos\(\frac{\theta +2k\pi}n\)+\sen\(\frac{\theta +2k\pi}n\)\cdot i\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|}\(\cos\(\frac{\theta +2k\pi}n\)+\sen\(\frac{\theta +2k\pi}n\)\cdot i\)[/tex3]

Na sua fórmula não tem seno... Não entendi, desculpa