Pré-Vestibular ⇒ (PSC-2013) Ponto e Reta Tópico resolvido

[Polímero17]

51. Considerando π = 3 , a área da região formada pelos pontos do plano tais que y-x ≤ −2 e x²+ y²≤ 4 é igual a:

a) 1
b) 2
c) 6
d) 10
e) 11

Resposta

---

a

[guila100]

equação da circunferência perceba que passa pela origem (0,0) e raio 2

e a outra equação é uma reta que passa exatamente pelo ponto - 2 em y

agora só fazer a área desse pedaço de circulo que seria A= [tex3]\pi .r^2/4 = 3[/tex3]

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[tex3]\pi .r^2/4 = 3[/tex3]

- a área do triangulo [tex3]\frac{2.2}{2}=2[/tex3]

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[tex3]\frac{2.2}{2}=2[/tex3]

logo a área que ele quer é 3 - 2 = 1

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[lookez]

[tex3]\alpha\text:\space y\leq x-2[/tex3]

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[tex3]\alpha\text:\space y\leq x-2[/tex3]

[tex3]\lambda\text:\space x^2+y^2\leq 4[/tex3]

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[tex3]\lambda\text:\space x^2+y^2\leq 4[/tex3]

A região [tex3]\alpha[/tex3]

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[tex3]\alpha[/tex3]

é toda a área abaixo da reta [tex3]y=x-2[/tex3]

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[tex3]y=x-2[/tex3]

, incluindo a reta. A região [tex3]\lambda[/tex3]

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[tex3]\lambda[/tex3]

é toda a área interior à cicunferência [tex3]x^2+y^2=4[/tex3]

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[tex3]x^2+y^2=4[/tex3]

, incluindo a circunferência. Desenhe! basta traçar uma circunferência de raio 2 centrada na origem e uma reta que intersecta os eixos nos pontos [tex3](0, -2)[/tex3]

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[tex3](0, -2)[/tex3]

e [tex3](2,0)\text:[/tex3]

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[tex3](2,0)\text:[/tex3]

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Queremos [tex3]\alpha\cap\lambda[/tex3]

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[tex3]\alpha\cap\lambda[/tex3]

, que é o segmento circular em vermelho na figura acima, a partir daqui é geometria plana.

Área de um segmento circular de raio [tex3]2[/tex3]

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[tex3]2[/tex3]

e ângulo [tex3]90\degree\text:[/tex3]

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[tex3]90\degree\text:[/tex3]

[tex3]A=\pi R^2\cdot\frac{\theta}{360\degree}-\frac{R^2\cdot\sen\theta}{2}[/tex3]

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[tex3]A=\pi R^2\cdot\frac{\theta}{360\degree}-\frac{R^2\cdot\sen\theta}{2}[/tex3]

[tex3]A=3\cdot2^2\cdot\frac{90\degree}{360\degree}-\frac{2^2\cdot\sen90\degree}{2}=3-2=\boxed1[/tex3]

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[tex3]A=3\cdot2^2\cdot\frac{90\degree}{360\degree}-\frac{2^2\cdot\sen90\degree}{2}=3-2=\boxed1[/tex3]