Pré-Vestibular ⇒ (PSC-2013)Números complexos Tópico resolvido

[Polímero17]

(PSC-2013) 50. Na figura a seguir estão representados os números complexos z , w e w₁ .

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Sabendo que os ângulos formados por z e o eixo real, entre z e w , entre w e o eixo imaginário, e entre o eixo imaginário e w₁ são congruentes, podemos afirmar que w₁ é resultado da seguinte operação:

a) z.w
b) z.w².
c) z +w
d) z-w
e) z².w

Resposta

---

e

[csmarcelo]

[tex3]z=\cos\theta+i\cdot\sin\theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z=\cos\theta+i\cdot\sin\theta[/tex3]

[tex3]w=2(\cos(2\theta)+i\cdot\sin(2\theta))[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]w=2(\cos(2\theta)+i\cdot\sin(2\theta))[/tex3]

[tex3]w_1=2(\cos(4\theta)+i\cdot\sin(4\theta))[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]w_1=2(\cos(4\theta)+i\cdot\sin(4\theta))[/tex3]

Sabemos que [tex3]u\cdot v=|u||v|(\cos(\arg(u)+\arg(v))+i\cdot\sin(\arg(u)+\arg(v)))[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u\cdot v=|u||v|(\cos(\arg(u)+\arg(v))+i\cdot\sin(\arg(u)+\arg(v)))[/tex3]

Assim, é direto que

[tex3]w_1=z^2\cdot w=|z||z||w|(\theta+\theta+2\theta)+i\cdot\sin(\theta+\theta+2\theta))=2(\cos(4\theta)+i\cdot\sin(4\theta))[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]w_1=z^2\cdot w=|z||z||w|(\theta+\theta+2\theta)+i\cdot\sin(\theta+\theta+2\theta))=2(\cos(4\theta)+i\cdot\sin(4\theta))[/tex3]

[Polímero17]

Olá csmarcelo obrigado por ter respondido!
Como vc descobriu o módulo do w e w1? Pois como temos um circulo como vou saber as coordenadas desses dois pontos pra fazer o cálculo?
E como vc descobriu os ângulos?

[csmarcelo]

Como vc descobriu o módulo do w e w1?

O módulo de um número complexo nada mais é que a distância do ponto que o representa no plano até a origem deste plano.

Se o centro de uma circunferência de raio 2u.m. está na origem do plano, a distância de qualquer ponto que pertença à ela até a origem do plano será justamente 2u.m.

E como vc descobriu os ângulos?

O enunciado é claro nesse ponto.

os ângulos formados por z e o eixo real, entre z e w , entre w e o eixo imaginário, e entre o eixo imaginário e w1 são congruentes

, ou seja,

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