Pré-Vestibular

(PSC- 2009)51. O resto da divisão do polinômio p(x) pelo
produto (x-1)(x+1)(x+2) , sendo 0,4 e
6 os restos da divisão de p (x) por
x -1, x +1 e x+ 2 , respectivamente é:

a)r(X)=X²-X+1
b)r(X)=2X-2
c)r(X)=X²+1
d)r(X)=-2X+2
e)r(X)=X²+X-1

Resposta

D)

Note que [tex3]p(x)[/tex3] tem grau 3. E o resto da divisão por um polinômio do tipo [tex3]x-a[/tex3] terá grau 2 no máximo, será então um polinômio que será representado por no 'máximo' [tex3]r(x)=ax^2+bx+c[/tex3] . Então temos o seguinte. Vamos considerar agora a divisão do polinômio [tex3]f(x)[/tex3] do enunciado por [tex3]d(x)=(x-1)(x+1)(x+2)[/tex3] .

Temos que [tex3]f(x)=d(x)q(x)+r(x)\implies f(x)=(x-1)(x+1)(x+2)q(x)+ax^2+bx+c[/tex3] .

Usando o 'teorema do resto', sabemos que [tex3]f(1)=0[/tex3] , [tex3]f(-1)=4[/tex3] e [tex3]f(-2)=6[/tex3] .

Assim, temos: [tex3]\begin{cases} f(1)=(1-1)(1+1)(1+2)\cdot q(1)+a\cdot1^2+b\cdot1+c=0\implies a+b+c=0\\
f(-1)=(-1-1)(-1+1)(-1+2)+a(-1)^2\cdot q(-1)+b(-1)+c=4\implies a-b+c=4\\
f(-2)=(2-1)(2+1)(-2+2)\cdot q(-2)+a\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)+c=6\implies 4a-2b+c=6 \end{cases}[/tex3]

Resolvendo o sistema, encontramos [tex3]a=0,b=-2,c=2[/tex3] . Logo, o polinômio resto será [tex3]r(x)=-2x+2[/tex3] . Letra D.

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