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Faltou o módulo na fórmula, se não incluir ele você pode acabar encontrando a tangente do maior dos ângulos (o obtuso) entre as retas, e quase sempre o que queremos é o menor ângulo (o agudo). Você deve usar ela quando a questão fala sobre ângulo entre retas das quais você possui o coeficiente angular, também é tipicamente utilizada na situação que você apresentou, retas simétricas:
Primeiro tem que verificar a posição relativa das retas, caso sejam paralelas a reta simétrica será simplesmente a reta com a mesma distância entre [tex3]r[/tex3]
e [tex3]t[/tex3]
porém para o lado oposto, todas paralelas entre si, pense sempre em simetria como se o objeto que se diz "em relação à" fosse um espelho. Se não forem paralelas com certeza encontram-se em um ponto, então basta fazer a interseção:
[tex3]r\text:\space y=x+1[/tex3]
[tex3]t\text:\space y=-2x-4[/tex3]
[tex3]r\cap t\text:\space x+1=-2x-4\rightarrow x=-\frac{5}{3}\rightarrow y=-\frac{2}{3}[/tex3]
[tex3]P\left(-\frac{5}{3},-\frac{2}{3}\right)[/tex3]
Retas que passam pelo ponto P:
[tex3]s\text:\space y-\left(-\frac{2}{3}\right)=m_s\left(x-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)[/tex3]
[tex3]s\text:\space y=m_s\left(x+\frac{5}{3}\right)-\frac{2}{3}[/tex3]
Ângulo [tex3]\theta[/tex3]
entre [tex3]r[/tex3]
e [tex3]t\text:[/tex3]
[tex3]\tan\theta=\left|\frac{m_r-m_t}{1+m_r\cdot m_t}\right|[/tex3]
[tex3]\tan\theta=\left|\frac{1-(-2)}{1+1\cdot(-2)}\right|=|-3|=3[/tex3]
Como [tex3]s[/tex3]
é simétrica de [tex3]r[/tex3]
em relação à [tex3]t[/tex3]
ela também define esse mesmo ângulo com [tex3]t[/tex3]
, então:
[tex3]\tan\theta=3=\left|\frac{m_s-m_t}{1+m_s\cdot m_t}\right|[/tex3]
[tex3]3=\left|\frac{m_s-(-2)}{1+(-2m_s)}\right|=\left|\frac{m_s+2}{1-2m_s}\right|[/tex3]
[tex3]\therefore m_s=\frac{1}{7}\space[/tex3]
ou [tex3]\space m_s=1[/tex3]
O resultado
[tex3]1[/tex3] é o [tex3]m_r[/tex3]
da reta [tex3]r[/tex3]
que já temos, portanto
[tex3]m_s=\frac{1}{7}[/tex3]
Substituindo na equação da reta [tex3]s[/tex3]
encontrada anteriormente:
[tex3]s\text:\space y=\frac{1}{7}\left(x+\frac{5}{3}\right)-\frac{2}{3}[/tex3]
[tex3]s\text:\space \boxed{y=\frac{x}{7}-\frac{3}{7}}[/tex3]
ou [tex3]\boxed{x-7y-3=0}[/tex3]
Outro jeito de fazer seria pensando que a reta [tex3]s[/tex3]
é tal que [tex3]t[/tex3]
é bissetriz do ângulo [tex3]2\cdot\theta[/tex3]
entre [tex3]r[/tex3]
e [tex3]s[/tex3]
, veja na figura:
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)
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