Pré-Vestibular ⇒ FUVEST 2012 - Funções/Algebra Tópico resolvido

[Alotropia]

Questão 61 - (Prova V) - Considere a função f(x)= 1 - 4x/(x+1)^2, a qual está definida para x diferente de -1. Então, para todo x diferente de 1 e x diferente de -1, o produto de f(x).f(-x) é igual a:

a) -1
b) 1
c) x + 1
d) x² + 1
e) (x - 1)^2

Gabarito: B

Eu fiz a questão só que parei na seguinte parte [1 - 4x/(x+1)^2] . [1 - 4.(-x)/(-x + 1)^2], na resolução que eu vi, a segunda expressão o denominador mudou para (1-x)^2, e eu não entendi o motivo. Alguém me explica?

Obrigada desde já.

[MateusQqMD]

Olá,

Eu acho que não entendi muito bem a sua dúvida.. mas vou deixar uma outra ideia.

Se [tex3]f(x)= 1 - \frac{4x}{(x+1)^2},[/tex3]

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[tex3]f(x)= 1 - \frac{4x}{(x+1)^2},[/tex3]

encontramos que

[tex3]f(x) = \frac{(x+1)^2 -4x}{(x+1)^2} = \frac{x^2 - 2x + 1 }{ (x+1)^2}[/tex3]

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[tex3]f(x) = \frac{(x+1)^2 -4x}{(x+1)^2} = \frac{x^2 - 2x + 1 }{ (x+1)^2}[/tex3]

[tex3]\therefore \,\,\,\, \boxed{f(x) = \frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}}[/tex3]

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[tex3]\therefore \,\,\,\, \boxed{f(x) = \frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}}[/tex3]

Assim,

[tex3]\begin{align}f(x) \cdot f(-x) & = \frac{(x-1)^2}{(x+1)^2} \cdot \frac{(-x-1)^2}{(-x+1)^2} \\\\


& = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 +2x + 1 } \cdot \frac{x^2 +2x +1 }{x^2 -2x + 1} \\\\

& = \frac{ {\color{red}\cancel{{\color{black}x^2 - 2x + 1}}}}{ {\color{blue}\cancel{{\color{black}x^2 + 2x + 1}}} } \cdot \frac{ {\color{blue}\cancel{{\color{black}x^2 + 2x + 1}}} }{ {\color{red}\cancel{{\color{black}x^2 - 2x + 1}}}} = 1\\\\
\end{align}[/tex3]

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[tex3]\begin{align}f(x) \cdot f(-x) & = \frac{(x-1)^2}{(x+1)^2} \cdot \frac{(-x-1)^2}{(-x+1)^2} \\\\


& = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 +2x + 1 } \cdot \frac{x^2 +2x +1 }{x^2 -2x + 1} \\\\

& = \frac{ {\color{red}\cancel{{\color{black}x^2 - 2x + 1}}}}{ {\color{blue}\cancel{{\color{black}x^2 + 2x + 1}}} } \cdot \frac{ {\color{blue}\cancel{{\color{black}x^2 + 2x + 1}}} }{ {\color{red}\cancel{{\color{black}x^2 - 2x + 1}}}} = 1\\\\
\end{align}[/tex3]

[tex3]\therefore \,\,\,\, \boxed{ f(x) \cdot f(-x) = 1, \,\,\, \forall \, x \in \mathbb{R} - \{-1, 1\}}[/tex3]

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[tex3]\therefore \,\,\,\, \boxed{ f(x) \cdot f(-x) = 1, \,\,\, \forall \, x \in \mathbb{R} - \{-1, 1\}}[/tex3]