Pré-Vestibular ⇒ UEA/SIS(2016) Números Complexos Tópico resolvido

[Polímero17]

SIS (2016) 41.Dados os números complexos [tex3]z_1= 1[/tex3]

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[tex3]z_1= 1[/tex3]

, [tex3]z_2=–i[/tex3]

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[tex3]z_2=–i[/tex3]

e [tex3]z_3= z_1+ z_2[/tex3]

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[tex3]z_3= z_1+ z_2[/tex3]

, a forma trigonométrica de [tex3](z_3)^2[/tex3]

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[tex3](z_3)^2[/tex3]

é:

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Resposta

---

a)

Minha maior dificuldade está sendo em achar o angulo.Como ficaria no circulo trigonométrico? Eu tbm poderia resolver esse problema de duas maneiras: elevar o z3 ao quadrado e achar a forma trigonométrica? Ou primeiro encontrar a forma trigonométrica de z3 e depois eleva-lo ao quadrado(aquele esquema de multiplicar os ângulos e elevar o módulo de z ao quadrado)?
Se tiver possibilidade resolva dos dois métodos, por favor. Isso com certeza vai trazer lucidez pra mim.

[csmarcelo]

Normalmente é mais simples realizar o produto de números complexos em suas formas trigonométricas, mas, nesse caso, é justamente ao contrário, pois o quadrado de 1-i é um número puramente imaginário.

[tex3]z_3=z_1+z_2=1-i[/tex3]

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[tex3]z_3=z_1+z_2=1-i[/tex3]

[tex3]{z_3}^2=(1-i)^2=-2i[/tex3]

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[tex3]{z_3}^2=(1-i)^2=-2i[/tex3]

Daí, é direto que

[tex3]{z_3}^2=2\(\cos\frac{3\pi}{2}+i\cdot\sin\frac{3\pi}{2}\)[/tex3]

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[tex3]{z_3}^2=2\(\cos\frac{3\pi}{2}+i\cdot\sin\frac{3\pi}{2}\)[/tex3]

De outra forma

[tex3]z_3=z_1+z_2=1-i=\sqrt{2}\(\cos\frac{7\pi}{4}+i\cdot\sin\frac{7\pi}{4}\)[/tex3]

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[tex3]z_3=z_1+z_2=1-i=\sqrt{2}\(\cos\frac{7\pi}{4}+i\cdot\sin\frac{7\pi}{4}\)[/tex3]

Logo,

[tex3]\small z_3=\sqrt{2}^2\(\cos\(2\cdot\frac{7\pi}{4}\)+i\cdot\sin\(2\cdot\frac{7\pi}{4}\)\)=2\(\cos\(\frac{7\pi}{2}\)+i\cdot\sin\(\frac{7\pi}{2}\)\)=2\(\cos\(2\pi+\frac{3\pi}{2}\)+i\cdot\sin\(2\pi+\frac{3\pi}{2}\)\)=2\(\cos\(\frac{3\pi}{2}\)+i\cdot\sin\(\frac{3\pi}{2}\)\)[/tex3]

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[tex3]\small z_3=\sqrt{2}^2\(\cos\(2\cdot\frac{7\pi}{4}\)+i\cdot\sin\(2\cdot\frac{7\pi}{4}\)\)=2\(\cos\(\frac{7\pi}{2}\)+i\cdot\sin\(\frac{7\pi}{2}\)\)=2\(\cos\(2\pi+\frac{3\pi}{2}\)+i\cdot\sin\(2\pi+\frac{3\pi}{2}\)\)=2\(\cos\(\frac{3\pi}{2}\)+i\cdot\sin\(\frac{3\pi}{2}\)\)[/tex3]

[csmarcelo]

Polímero17, havia um erro na minha resolução. Apesar de [tex3]{z_3}^2[/tex3]

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[tex3]{z_3}^2[/tex3]

ser igual a [tex3]-2i[/tex3]

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[tex3]-2i[/tex3]

, eu passei para a forma trigonométrica como se fosse igual a [tex3]2i[/tex3]

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[tex3]2i[/tex3]

. Agora já está certo.

[Polímero17]

Olá csmarcelo, muito obrigado por ter respondido (;
Mas como vc encontrou os ângulos?
Sei que foi por aquela razão de b e o módulo de z, mas como fica no circulo trigonométrico? E o número real que não tem, porque ficou o mesmo ângulo?
E o b de -2i é um número negativo não é? Então como em qual quadrante eu projeto?

[csmarcelo]

Se [tex3]z=a+bi[/tex3]

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[tex3]z=a+bi[/tex3]

, então sua representação no plano de Argand-Gauss é um ponto de coordenadas [tex3](a,b)[/tex3]

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[tex3](a,b)[/tex3]

.

Assim, [tex3]z=-2i[/tex3]

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[tex3]z=-2i[/tex3]

é representado pelo ponto [tex3](0,-2)[/tex3]

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[tex3](0,-2)[/tex3]

.

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Pelos mesmos motivos, [tex3]z=1-i[/tex3]

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[tex3]z=1-i[/tex3]

é representado pelo ponto [tex3](1,-1)[/tex3]

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[tex3](1,-1)[/tex3]

.

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[Polímero17]

AHHH sim entendi, ficou bem mais claro ohhh. Muito obrigado csmarcelo!