Pré-Vestibular ⇒ Re: (PSC 2017) Números complexos Tópico resolvido

[Polímero17]

(ufam-psc-2017) 52. Considere os números complexos:

[tex3]\begin{cases}
x=r (sen(2\theta )+icos(2\theta ))\\
y=r (cos(2\theta )+isen(2\theta ))
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
x=r (sen(2\theta )+icos(2\theta ))\\
y=r (cos(2\theta )+isen(2\theta ))
\end{cases}[/tex3]

Então, sobre o produto y.(-ix), podemos afirmar que:
a) é um número real negativo.
b) é um número real positivo.
c) é um imaginário puro.
d) é um número imaginário.
e) é identicamente nulo.

Resposta

---

B)

[AlexandreHDK]

Vamos por partes
[tex3]-i.x=(-i).r (sen(2\theta )+icos(2\theta ))=r (cos(2\theta )-isen(2\theta )[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-i.x=(-i).r (sen(2\theta )+icos(2\theta ))=r (cos(2\theta )-isen(2\theta )[/tex3]

Agora basta observar que [tex3]-i.x=\bar{y}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-i.x=\bar{y}[/tex3]

, e sabendo que o produto de um número complexo pelo seu conjugado resulta em um número real positivo, nem precisamos fazer o resto.

[Polímero17]

Olá AlexandreHDK!

Vc poderia fazer essa multiplicação entre -i e x para eu entender melhor?

[tex3]-i.x=i.r (sen(2\theta )+icos(2\theta ))=r (cos(2\theta )-isen(2\theta )[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-i.x=i.r (sen(2\theta )+icos(2\theta ))=r (cos(2\theta )-isen(2\theta )[/tex3]

[AlexandreHDK]

[tex3]-i.x=(-i).r (sen(2\theta )+icos(2\theta ))[/tex3]

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[tex3]-i.x=(-i).r (sen(2\theta )+icos(2\theta ))[/tex3]

Reordenando:
[tex3]=r(-i).(sen(2\theta )+icos(2\theta ))[/tex3]

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[tex3]=r(-i).(sen(2\theta )+icos(2\theta ))[/tex3]

Distribuindo [tex3](-i)[/tex3]

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[tex3](-i)[/tex3]

:
[tex3]=r (-i.sen(2\theta)-i^2cos(2\theta)) [/tex3]

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[tex3]=r (-i.sen(2\theta)-i^2cos(2\theta)) [/tex3]

Fazendo esta substituição: [tex3]-i^2=-(-1)=1[/tex3]

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[tex3]-i^2=-(-1)=1[/tex3]

:
[tex3]= r (-isen(2\theta)+cos(2\theta ) )[/tex3]

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[tex3]= r (-isen(2\theta)+cos(2\theta ) )[/tex3]

Reordenando:
[tex3]= r (cos(2\theta )-isen(2\theta )[/tex3]

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[tex3]= r (cos(2\theta )-isen(2\theta )[/tex3]

Agora vamos dar continuidade:
[tex3]y.(-ix)=[r(cos(2\theta)+i.sen(2\theta))].[r(cos(2\theta)-i.sen(2\theta))][/tex3]

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[tex3]y.(-ix)=[r(cos(2\theta)+i.sen(2\theta))].[r(cos(2\theta)-i.sen(2\theta))][/tex3]

[tex3]y.(-ix)=[r(cos(2\theta)+i.sen(2\theta))].[r(cos(-2\theta)+i.sen(-2\theta))][/tex3]

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[tex3]y.(-ix)=[r(cos(2\theta)+i.sen(2\theta))].[r(cos(-2\theta)+i.sen(-2\theta))][/tex3]

Este é um produto de 2 complexos na forma polar, que é então:
[tex3]y.(-ix)=[r.r(cos(2\theta-2\theta)+i.sen(2\theta-2\theta))]=r^2[cos(0)+i.sen(0)]=r^2 \in\mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]y.(-ix)=[r.r(cos(2\theta-2\theta)+i.sen(2\theta-2\theta))]=r^2[cos(0)+i.sen(0)]=r^2 \in\mathbb{R}[/tex3]

[Polímero17]

AlexandreHDK, muito obrigado por ter respondido.
Não entendi porque os ângulos ficaram negativos?

[tex3]y.ix=[r(cos(2\theta)+i.sen(2\theta))].[r(cos(-2\theta)+i.sen(-2\theta))][/tex3]

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[tex3]y.ix=[r(cos(2\theta)+i.sen(2\theta))].[r(cos(-2\theta)+i.sen(-2\theta))][/tex3]

[AlexandreHDK]

Fiz isso para calcular usando a fórmula do produto:
[tex3]z_1=r_1[cos(\alpha)\color{red}+\color{black}isen(\alpha)][/tex3]

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[tex3]z_1=r_1[cos(\alpha)\color{red}+\color{black}isen(\alpha)][/tex3]

[tex3]z_2=r_2[cos(\beta)\color{red}+\color{black}isen(\beta)][/tex3]

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[tex3]z_2=r_2[cos(\beta)\color{red}+\color{black}isen(\beta)][/tex3]

[tex3]z_1.z_2=r_1.r_2[cos(\alpha+\beta)+isen(\alpha+\beta)][/tex3]

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[tex3]z_1.z_2=r_1.r_2[cos(\alpha+\beta)+isen(\alpha+\beta)][/tex3]

Então precisei tornar a expressão
[tex3]r[cos(2\theta)\color{red}-\color{black}i.sen(2\theta)][/tex3]

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[tex3]r[cos(2\theta)\color{red}-\color{black}i.sen(2\theta)][/tex3]

em
[tex3]r[cos(\color{red}-\color{black}2\theta)\color{red}+\color{black}i.sen(\color{red}-\color{black}2\theta)][/tex3]

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[tex3]r[cos(\color{red}-\color{black}2\theta)\color{red}+\color{black}i.sen(\color{red}-\color{black}2\theta)][/tex3]

E pude fazer isso porque [tex3]cos(2\theta)=cos(-2\theta)[/tex3]

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[tex3]cos(2\theta)=cos(-2\theta)[/tex3]

e [tex3]sen(2\theta)=-sen(2\theta)[/tex3]

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[tex3]sen(2\theta)=-sen(2\theta)[/tex3]

[Polímero17]

Obrigado AlexandreHDK , entendi agora.