Pré-VestibularRe: (PSC 2017) Números complexos Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
Polímero17
Veterano
Mensagens: 301
Registrado em: Sex 07 Dez, 2018 23:31
Última visita: 30-08-23
Out 2019 03 00:04

Re: (PSC 2017) Números complexos

Mensagem não lida por Polímero17 »

(ufam-psc-2017) 52. Considere os números complexos:

[tex3]\begin{cases}
x=r (sen(2\theta )+icos(2\theta ))\\
y=r (cos(2\theta )+isen(2\theta ))
\end{cases}[/tex3]

Então, sobre o produto y.(-ix), podemos afirmar que:
a) é um número real negativo.
b) é um número real positivo.
c) é um imaginário puro.
d) é um número imaginário.
e) é identicamente nulo.

Resposta

B)




Avatar do usuário
AlexandreHDK
3 - Destaque
Mensagens: 408
Registrado em: Qua 18 Nov, 2009 20:24
Última visita: 15-08-22
Out 2019 03 07:29

Re: Re: (PSC 2017) Números complexos

Mensagem não lida por AlexandreHDK »

Vamos por partes
[tex3]-i.x=(-i).r (sen(2\theta )+icos(2\theta ))=r (cos(2\theta )-isen(2\theta )[/tex3]
Agora basta observar que [tex3]-i.x=\bar{y}[/tex3] , e sabendo que o produto de um número complexo pelo seu conjugado resulta em um número real positivo, nem precisamos fazer o resto.




Avatar do usuário
Autor do Tópico
Polímero17
Veterano
Mensagens: 301
Registrado em: Sex 07 Dez, 2018 23:31
Última visita: 30-08-23
Out 2019 06 21:13

Re: Re: (PSC 2017) Números complexos

Mensagem não lida por Polímero17 »

Olá AlexandreHDK!

Vc poderia fazer essa multiplicação entre -i e x para eu entender melhor?
[tex3]-i.x=i.r (sen(2\theta )+icos(2\theta ))=r (cos(2\theta )-isen(2\theta )[/tex3]



Avatar do usuário
AlexandreHDK
3 - Destaque
Mensagens: 408
Registrado em: Qua 18 Nov, 2009 20:24
Última visita: 15-08-22
Out 2019 06 22:00

Re: Re: (PSC 2017) Números complexos

Mensagem não lida por AlexandreHDK »

[tex3]-i.x=(-i).r (sen(2\theta )+icos(2\theta ))[/tex3]
Reordenando:
[tex3]=r(-i).(sen(2\theta )+icos(2\theta ))[/tex3]
Distribuindo [tex3](-i)[/tex3] :
[tex3]=r (-i.sen(2\theta)-i^2cos(2\theta)) [/tex3]
Fazendo esta substituição: [tex3]-i^2=-(-1)=1[/tex3] :
[tex3]= r (-isen(2\theta)+cos(2\theta ) )[/tex3]
Reordenando:
[tex3]= r (cos(2\theta )-isen(2\theta )[/tex3]

Agora vamos dar continuidade:
[tex3]y.(-ix)=[r(cos(2\theta)+i.sen(2\theta))].[r(cos(2\theta)-i.sen(2\theta))][/tex3]
[tex3]y.(-ix)=[r(cos(2\theta)+i.sen(2\theta))].[r(cos(-2\theta)+i.sen(-2\theta))][/tex3]
Este é um produto de 2 complexos na forma polar, que é então:
[tex3]y.(-ix)=[r.r(cos(2\theta-2\theta)+i.sen(2\theta-2\theta))]=r^2[cos(0)+i.sen(0)]=r^2 \in\mathbb{R}[/tex3]
Última edição: AlexandreHDK (Dom 06 Out, 2019 22:02). Total de 2 vezes.



Avatar do usuário
Autor do Tópico
Polímero17
Veterano
Mensagens: 301
Registrado em: Sex 07 Dez, 2018 23:31
Última visita: 30-08-23
Out 2019 06 22:18

Re: Re: (PSC 2017) Números complexos

Mensagem não lida por Polímero17 »

AlexandreHDK, muito obrigado por ter respondido.
Não entendi porque os ângulos ficaram negativos?
[tex3]y.ix=[r(cos(2\theta)+i.sen(2\theta))].[r(cos(-2\theta)+i.sen(-2\theta))][/tex3]
Última edição: Polímero17 (Dom 06 Out, 2019 22:27). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
AlexandreHDK
3 - Destaque
Mensagens: 408
Registrado em: Qua 18 Nov, 2009 20:24
Última visita: 15-08-22
Out 2019 06 22:27

Re: Re: (PSC 2017) Números complexos

Mensagem não lida por AlexandreHDK »

Fiz isso para calcular usando a fórmula do produto:
[tex3]z_1=r_1[cos(\alpha)\color{red}+\color{black}isen(\alpha)][/tex3]
[tex3]z_2=r_2[cos(\beta)\color{red}+\color{black}isen(\beta)][/tex3]
[tex3]z_1.z_2=r_1.r_2[cos(\alpha+\beta)+isen(\alpha+\beta)][/tex3]
Então precisei tornar a expressão
[tex3]r[cos(2\theta)\color{red}-\color{black}i.sen(2\theta)][/tex3]
em
[tex3]r[cos(\color{red}-\color{black}2\theta)\color{red}+\color{black}i.sen(\color{red}-\color{black}2\theta)][/tex3]
E pude fazer isso porque [tex3]cos(2\theta)=cos(-2\theta)[/tex3] e [tex3]sen(2\theta)=-sen(2\theta)[/tex3]



Avatar do usuário
Autor do Tópico
Polímero17
Veterano
Mensagens: 301
Registrado em: Sex 07 Dez, 2018 23:31
Última visita: 30-08-23
Out 2019 06 22:35

Re: Re: (PSC 2017) Números complexos

Mensagem não lida por Polímero17 »

Obrigado AlexandreHDK :wink:, entendi agora.




Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Pré-Vestibular”