Pré-VestibularFunção Modular (Mack-75) Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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LucasGuedes
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Função Modular (Mack-75)

Mensagem não lida por LucasGuedes »

(MACK-75) Se para [tex3]|x^{2}-4| < N[/tex3] todo x tal que [tex3]|x - 2| < 1[/tex3] , então:
a) o menor valor possivei de N é 3
b) o maior valor possível de N é 3
c) o menor valor possível de N é 5
d) o maior valor possível de N é 5
e) N pode assumir qualquer valor
Resposta

GABARITO: (c)

Minha Resolução:
[tex3]
\boxed{\text{Condição Inicial: }\\
|x-2| <1\\
-1 < x-2 < 1 \\
1 < x < 3}
[/tex3]

[tex3]
|x^2 - 4| = \begin{cases}
x^2-4 \;\;\;se\;\; x \le -2 \; \lor \; x \ge 2 \\
-x^2+4 \;\;\;se\;\; -2 < x <2
\end{cases}
[/tex3]

[tex3]
\text{Os possíveis valores de } x \text{ serão:}\\
\begin{array}{l l l l l}
1 < x < 2 \implies & -x^2 + 4 < N & \;\;\;\; \lor \;\;\;\; & 2 \leq x < 3 \implies & x^2 -4 < N \;\;\; (II)\\
& x^2 - 4 > -N \;\;\; (I) & & &
\end{array}
[/tex3]

[tex3]
\text{Se }\;\;N=-4 \;\; \text{ teremos:}\\
\begin{array}{l l}
\text{Em (I):} & x^2 -4 > -(-4) \\
& x^2 -8 > 0 \\
& x < -2\sqrt{2} \;\;\; \lor \;\;\; x > 2\sqrt{2} \;\;\ (OK)
\end{array}
[/tex3]

[tex3]
\begin{array}{l l}
\text{Em (II):} & x^2 -4 < -4 \\
& x ^2 < 0 \;\;\; \text{(Impossível)}
\end{array}
[/tex3]



[tex3]
\text{Se }\;\;N= 4 \;\; \text{ teremos:}\\
\begin{array}{l l}
\text{Em (I):} & x^2 -4 > -4 \\
& x^2 > 0 \;\;\; (OK)
\end{array}
[/tex3]

[tex3]
\begin{array}{l l}
\text{Em (II):} & x^2 -4 < 4 \\
& x ^2 -8 <0 \\
&-2\sqrt{2} < x < 2\sqrt{2} \;\;\; (OK)
\end{array}
[/tex3]


[tex3]
\text{Visto que é impossível quando}\;\;\ N \le -4 \\ \text{e os outros casos trazem resultados verdadeiros podemos, então, concluir: } \\ N > -4 \;\; \text{????????}
[/tex3]


Última edição: LucasGuedes (Qui 19 Set, 2019 14:15). Total de 2 vezes.



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csmarcelo
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Re: Função Modular (Mack-75)

Mensagem não lida por csmarcelo »

Não consigo analisar sua resolução agora. De qualquer forma, dê uma olhada aqui.




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Autor do Tópico
LucasGuedes
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Set 2019 19 17:35

Re: Função Modular (Mack-75)

Mensagem não lida por LucasGuedes »

Acho que entendi a sua resolução no tópico:
viewtopic.php?f=1&t=76089

Acho que pelo gráfico dá para visualizar melhor:
Iezzi Vol1. (Mais Antigo) TA.217 (4).png
Iezzi Vol1. (Mais Antigo) TA.217 (4).png (67.92 KiB) Exibido 1335 vezes
Sendo [tex3]y=|x^2 -4|, \forall x \in \mathbb{R}_+ [/tex3] , os valores de N serão aqueles que seguem as linhas tracejadas nas áreas pintadas de azul.
Agora fica fácil perceber que o menor valor possível de N acontece quando [tex3]x=1 \implies N=3[/tex3]

Mas, o menor valor possível para N então é 3 e não 5. Alternativa (a) e não (c). Estaria o gabarito incorreto? Ou interpretei da maneira incorreta a resolução?



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csmarcelo
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Set 2019 19 18:22

Re: Função Modular (Mack-75)

Mensagem não lida por csmarcelo »

Se quer o menor valor possível de [tex3]N[/tex3] tal que [tex3]|x^{2}-4|<N[/tex3] para qualquer valor de [tex3]x[/tex3] entre 1 e 3.

Se fizermos [tex3]N=3[/tex3] , há valores de [tex3]x[/tex3] tais que [tex3]|x^{2}-4|>N[/tex3] .

Pelo gráfico, vemos que os possíveis valores de [tex3]y[/tex3] estão no intervalo [tex3][0,5[[/tex3] . Logo, N precisa ser pelo menos igual a 5 para que não exista nenhum [tex3]y>N[/tex3] .




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