Pré-Vestibular ⇒ (CFTMG) Semi-circunferência

[thetruthFMA]

(G1 - cftmg 2013) A figura abaixo mostra uma semicircunferência de centro O e diâmetro AC. Em seu interior, encontram-se duas semicircunferências de centros O1 e O2 tangentes entre si. A medida do segmento BC é um quarto da medida do segmento AC.
A razão entre a área de circunferência de diâmetro BD e da semicircunferência de centro O é:

Resposta

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[mcarvalho]

Se OC é a metade de AC, e BC é um quarto de AC, então BC = OB. Seja R o raio da circunferência de centro O, e r o raio da circunferência de diâmetro BD. Temos que R = 2BO. Aplicando pitágoras no triângulo DOB, teremos:
[tex3]R^2=\frac{R^2}{4}+(2r)^2\rightarrow \frac{3R^2}{4}=4r^2\\ R=\frac{4r \sqrt{3}}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R^2=\frac{R^2}{4}+(2r)^2\rightarrow \frac{3R^2}{4}=4r^2\\ R=\frac{4r \sqrt{3}}{3}[/tex3]

Basta calcular a razão entre as áreas, lembrando que queremos apenas a área da semicircunferência de centro O, não da circunferência inteira:
[tex3]\frac{r^2}{\frac{R^2}{2}}=\frac{r^2}{\frac{16r^2}{3.2}}=\frac{3}{8}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{r^2}{\frac{R^2}{2}}=\frac{r^2}{\frac{16r^2}{3.2}}=\frac{3}{8}[/tex3]