Pré-Vestibular

(Uftm 2011) A figura mostra o projeto de um paisagista para um jardim em um terreno plano. Sabe-se que os círculos são concêntricos e que a área do quadrado ABCD é igual a 100m². No círculo inscrito no quadrado, haverá um espelho d’água, e na região sombreada do círculo circunscrito ao quadrado serão plantadas flores de várias espécies.
Usando π = 3,1 determine a área aproximada
a) ocupada pelo espelho d’água.
b) da região onde serão plantadas flores.

Resposta

a)77,5 b)197,7

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Área de um Quadrado ([tex3]A_\square[/tex3] ) é lado vezes lado, logo

[tex3]l^2=100\,m^2\\l=10\,m[/tex3]

Como as medidas [tex3]\overline{AB}[/tex3] , [tex3]\overline{BC}[/tex3] , [tex3]\overline{CD}[/tex3] e [tex3]\overline{AD}[/tex3] são iguais a Diâmetro do Circulo Menor([tex3]C_m[/tex3] ), seu diâmetro também é [tex3]d_m=10\,m[/tex3] e seu raio, [tex3]r_m=5\,m[/tex3]

Área do Circulo menor [tex3]A_m[/tex3] :

[tex3]A_m=r^2\pi\\A_m=5^2\cdot3,\!1[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{A_m=77,5\,m^2}[/tex3]

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Perceba que as Diagonais do Quadrado ([tex3]\overline{AC}[/tex3] e [tex3]\overline{BD}[/tex3] ) são iguais ao raio do Circulo Maior ([tex3]C_M[/tex3] ), e sendo a diagonal igual a [tex3]l\sqrt2[/tex3] e queremos metade disso para usar como raio

[tex3]A_M=r^2\pi\\A_M=\left(\frac{l\sqrt2}2\right)^2\pi\\A_M=\left(\frac{10\sqrt2}2\right)^2\cdot3,\!1\\A_M=155\,m^2[/tex3]

A Área Preenchida ([tex3]A_p[/tex3] ) é igual a Área do Circulo ([tex3]A_M[/tex3] ) menos a Área do Quadrado ([tex3]A_\square[/tex3] )

[tex3]A_p=A_M-A_\square[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{A_p=55\,m^2}[/tex3]

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