Pré-Vestibular ⇒ (UFRJ) Círculo Tópico resolvido

[thetruthFMA]

(Ufrj 2009) Um disco se desloca no interior de um quadrado, sempre tangenciando pelo menos um dos seus lados. Uma volta completa do disco ao longo dos quatro lados divide o interior do quadrado em duas regiões: a região A dos pontos que foram encobertos pela passagem do disco e a região B dos pontos que não foram encobertos. O raio do disco mede 2 cm e o lado do quadrado mede 10 cm.
Determine a área da região B.

Screenshot_2019-09-18-14-55-23.jpg (18.71 KiB) Exibido 1295 vezes

Resposta

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4(5-π)

[Planck]

Olá thetruthFMA,

Primeiramente, é preciso visualizar a seguinte ideia (acredito ser a parte mais difícil dessa questão):

geogebra-export (4).png (139.03 KiB) Exibido 1289 vezes

Portanto, note que o tamanho do quadrado central será dado por:

[tex3]\text{ Lado do quadrado maior } - 2 \cdot \text{Diâmetros} \, \, \implies \, \, 10 - 8= 2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{ Lado do quadrado maior } - 2 \cdot \text{Diâmetros} \, \, \implies \, \, 10 - 8= 2[/tex3]

Logo, a área central não encoberta é de [tex3]4 \, [\text{m}^2][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4 \, [\text{m}^2][/tex3]

. Além disso, temos as seguintes as partes dos cantos que não foram encobertas:

geogebra-export (5).png (71.79 KiB) Exibido 1289 vezes

Essa área pode ser obtida da seguinte forma:

[tex3]\text{Quadrado} - \frac{1}{4} \text{Círculo} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{Quadrado} - \frac{1}{4} \text{Círculo} [/tex3]

O quadrado pode ser percebido utilizando o raio do círculo como lado. Com isso, podemos fazer que:

[tex3]\text{Quadrado} - \frac{1}{4} \text{Círculo} \, \, \iff \, \, 2^2 - \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 2^2 \, \, \implies \, \, 4 - \pi[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{Quadrado} - \frac{1}{4} \text{Círculo} \, \, \iff \, \, 2^2 - \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 2^2 \, \, \implies \, \, 4 - \pi[/tex3]

Como são quatro cantos, vamos somar os quatro cantos com a área central que obtemos:

[tex3]4 + 4 \cdot (4-\pi) \, \, \iff 4 + 16 - 4 \pi \, \, \iff \, \, 20 - 4\pi \, \, \iff \, \,{\color{forestgreen} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {4 \cdot (5 - \pi) \, [\text {cm}^2]}^{{⠀}^{⠀}} }} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4 + 4 \cdot (4-\pi) \, \, \iff 4 + 16 - 4 \pi \, \, \iff \, \, 20 - 4\pi \, \, \iff \, \,{\color{forestgreen} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {4 \cdot (5 - \pi) \, [\text {cm}^2]}^{{⠀}^{⠀}} }} [/tex3]