Pré-Vestibular(PSC 2010) Números Complexos Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
Polímero17
Veterano
Mensagens: 294
Registrado em: Sex 07 Dez, 2018 23:31
Última visita: 11-10-20
Set 2019 12 22:58

(PSC 2010) Números Complexos

Mensagem não lida por Polímero17 »

(Ufam-PSC-2010) Na Figura a seguir os números complexos [tex3]z_1[/tex3] , [tex3]z_2[/tex3] , [tex3]z_3[/tex3] , [tex3]z_4[/tex3] , [tex3]z_5[/tex3] e [tex3]z_6[/tex3] estão representados pelos vértices de um hexaedro regular. Podemos afirmar que [tex3]\frac{z_2\cdot z_3}{z_5\cdot z_6}[/tex3] é:
Screen Shot 2019-09-12 at 23.43.25.png
Screen Shot 2019-09-12 at 23.43.25.png (23.63 KiB) Exibido 411 vezes
a)
b)
c)
d)
e)

Resposta

gabarito A

Última edição: caju (Qui 12 Set, 2019 23:43). Total de 1 vez.
Razão: retirar o enunciado da imagem.



Avatar do usuário
Planck
6 - Doutor
Mensagens: 2859
Registrado em: Sex 15 Fev, 2019 21:59
Última visita: 15-02-21
Set 2019 13 09:28

Re: (PSC 2010) Números Complexos

Mensagem não lida por Planck »

Olá Polímero17,

O csmarcelo respondeu essa questão aqui: viewtopic.php?t=60592. A ideia que ele utilizou, parece ser relacionar a simetria dos números complexos, afinal, [tex3]z_5[/tex3] e [tex3]z_2[/tex3] são simétricos, de tal forma que, [tex3]z_5 = - z_2[/tex3] . A mesma premissa aplica-se a [tex3]z_6[/tex3] e [tex3]z_3[/tex3] .




Avatar do usuário
AlexandreHDK
3 - Destaque
Mensagens: 284
Registrado em: Qua 18 Nov, 2009 20:24
Última visita: 08-12-20
Set 2019 13 09:48

Re: (PSC 2010) Números Complexos

Mensagem não lida por AlexandreHDK »

Sendo um hexaedro regular, sabemos que eles estão angularmente distados de [tex3]\pi/3[/tex3] um do outro. Então, podemos escrevê-los na forma polar.

[tex3]Z_1=1\cdot (\cos (0)+i\cdot \sen (0))[/tex3]
[tex3]Z_2=1\cdot (\cos (\pi/3)+i\cdot \sen (\pi/3))[/tex3]
[tex3]Z_3=1\cdot (\cos (2\pi/3)+i\cdot \sen (2\pi/3))[/tex3]
[tex3]Z_4=1\cdot (\cos (\pi)+i\cdot \sen (\pi))[/tex3]
[tex3]Z_5=1\cdot (\cos (4\pi/3)+i\cdot \sen (4\pi/3))[/tex3]
[tex3]Z_6=1\cdot (\cos (5\pi/3)+i\cdot \sen (5\pi/3))[/tex3]
Fizemos isso para trabalhar mais facilmente com a multiplicação e divisão de números complexos.
[tex3]Z_a=r_a(\cos (\theta_a)+i\cdot \sen (\theta_a))[/tex3]
[tex3]Z_b=r_b(\cos (\theta_b)+i\cdot \sen (\theta_b))[/tex3]
[tex3]{Z_a}\cdot {Z_b}={r_a}\cdot {r_b}(\cos (\theta_a+\theta_b)+i\cdot \sen (\theta_a+\theta_b))[/tex3]
[tex3]\frac{Z_a}{Z_b}=\frac{r_a}{r_b}(\cos (\theta_a-\theta_b)+i\cdot \sen (\theta_a-\theta_b))[/tex3]
Assim:
[tex3]{Z_2}\cdot {Z_3}={1}\cdot {1}(\cos (\pi/3+2\pi/3)+i\cdot \sen (\pi/3+2\pi/3))=1\cdot (\cos (\pi)+i\cdot \sen (\pi))[/tex3]
[tex3]{Z_5}\cdot {Z_6}={1}\cdot {1}(\cos (4\pi/3+5\pi/3)+i\cdot \sen (4\pi/3+5\pi/3))=1\cdot (\cos (3\pi)+i\cdot \sen (3\pi)) \equiv 1\cdot (\cos (\pi)+i\cdot \sen (\pi))[/tex3]
Portanto
[tex3]\frac{Z_2\cdot Z_3}{Z_5\cdot Z_6}=\frac{1}{1}(\cos (\pi-\pi)+i\cdot \sen (\pi-\pi))=\cos (0)+i\cdot \sen (0)=1[/tex3]




Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Pré-Vestibular”