Página 1 de 1
(PSC 2010) Números Complexos
Enviado: Qui 12 Set, 2019 22:58
por Polímero17
(Ufam-PSC-2010) Na Figura a seguir os números complexos [tex3]z_1[/tex3]
, [tex3]z_2[/tex3]
, [tex3]z_3[/tex3]
, [tex3]z_4[/tex3]
, [tex3]z_5[/tex3]
e [tex3]z_6[/tex3]
estão representados pelos vértices de um hexaedro regular. Podemos afirmar que [tex3]\frac{z_2\cdot z_3}{z_5\cdot z_6}[/tex3]
é:
- Screen Shot 2019-09-12 at 23.43.25.png (23.63 KiB) Exibido 1168 vezes
a)
b)
c)
d)
e)
Re: (PSC 2010) Números Complexos
Enviado: Sex 13 Set, 2019 09:28
por Planck
Olá
Polímero17,
O
csmarcelo respondeu essa questão aqui:
viewtopic.php?t=60592. A ideia que ele utilizou, parece ser relacionar a simetria dos números complexos, afinal, [tex3]z_5[/tex3]
e [tex3]z_2[/tex3]
são simétricos, de tal forma que, [tex3]z_5 = - z_2[/tex3]
. A mesma premissa aplica-se a [tex3]z_6[/tex3]
e [tex3]z_3[/tex3]
.
Re: (PSC 2010) Números Complexos
Enviado: Sex 13 Set, 2019 09:48
por AlexandreHDK
Sendo um hexaedro regular, sabemos que eles estão angularmente distados de [tex3]\pi/3[/tex3]
um do outro. Então, podemos escrevê-los na forma polar.
[tex3]Z_1=1\cdot (\cos (0)+i\cdot \sen (0))[/tex3]
[tex3]Z_2=1\cdot (\cos (\pi/3)+i\cdot \sen (\pi/3))[/tex3]
[tex3]Z_3=1\cdot (\cos (2\pi/3)+i\cdot \sen (2\pi/3))[/tex3]
[tex3]Z_4=1\cdot (\cos (\pi)+i\cdot \sen (\pi))[/tex3]
[tex3]Z_5=1\cdot (\cos (4\pi/3)+i\cdot \sen (4\pi/3))[/tex3]
[tex3]Z_6=1\cdot (\cos (5\pi/3)+i\cdot \sen (5\pi/3))[/tex3]
Fizemos isso para trabalhar mais facilmente com a multiplicação e divisão de números complexos.
[tex3]Z_a=r_a(\cos (\theta_a)+i\cdot \sen (\theta_a))[/tex3]
[tex3]Z_b=r_b(\cos (\theta_b)+i\cdot \sen (\theta_b))[/tex3]
[tex3]{Z_a}\cdot {Z_b}={r_a}\cdot {r_b}(\cos (\theta_a+\theta_b)+i\cdot \sen (\theta_a+\theta_b))[/tex3]
[tex3]\frac{Z_a}{Z_b}=\frac{r_a}{r_b}(\cos (\theta_a-\theta_b)+i\cdot \sen (\theta_a-\theta_b))[/tex3]
Assim:
[tex3]{Z_2}\cdot {Z_3}={1}\cdot {1}(\cos (\pi/3+2\pi/3)+i\cdot \sen (\pi/3+2\pi/3))=1\cdot (\cos (\pi)+i\cdot \sen (\pi))[/tex3]
[tex3]{Z_5}\cdot {Z_6}={1}\cdot {1}(\cos (4\pi/3+5\pi/3)+i\cdot \sen (4\pi/3+5\pi/3))=1\cdot (\cos (3\pi)+i\cdot \sen (3\pi)) \equiv 1\cdot (\cos (\pi)+i\cdot \sen (\pi))[/tex3]
Portanto
[tex3]\frac{Z_2\cdot Z_3}{Z_5\cdot Z_6}=\frac{1}{1}(\cos (\pi-\pi)+i\cdot \sen (\pi-\pi))=\cos (0)+i\cdot \sen (0)=1[/tex3]