Pré-VestibularSIS(2018)-Ponto e Reta

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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Polímero17
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SIS(2018)-Ponto e Reta

Mensagem não lida por Polímero17 »

38-Considere, em um plano cartesiano, os pontos A(2,0), D(0, 4) e o quadrado ABCD, conforme a figura.
A equação da reta suporte do lado BC é
(A) x + y – 14 = 0
(B) 2x + y – 14 = 0
(C) x + y – 10 = 0
(D) 2x + y – 10 = 0
(E) x + y – 6 = 0
Resposta

Gabarito b
Anexos
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LostWalker
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Re: SIS(2018)-Ponto e Reta

Mensagem não lida por LostWalker »

Eu não sei se há um modo mais rápido, mas eu fiz assim.

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Vamos definir que o Ponto onde a Reta de [tex3]\overline{AB}[/tex3] cruza o Eixo das Ordenadas é [tex3]E[/tex3] e o Ponto onde a Reta de [tex3]\overline{BC}[/tex3] cruza o Eixo das Abcissas é [tex3]F[/tex3]

O ângulo entre as duas retas pode ser medido com a fórmula:

[tex3]\tg\theta=\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}[/tex3]

Se a diferença é de [tex3]90^\circ[/tex3] , e [tex3]\tg90^\circ=\mbox{Indeterminado}[/tex3] , para a conta dar indeterminado o Denominado precisa zerar, logo:

[tex3]1+m_1m_2=0[/tex3]
[tex3]1-2m_2=0[/tex3]

[tex3]\color{PineGreen}\boxed{m_2=\frac12}[/tex3]

Essa é a Inclinação das Retas [tex3]AB[/tex3] e [tex3]CD[/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Para encontrar o Ponto [tex3]E\,(0,y_{_E})[/tex3] , vamos usar o [tex3]m[/tex3] e o Ponto [tex3]A[/tex3]

[tex3]m=\frac{y-y_0}{x-x_0}[/tex3]

[tex3]\frac12=\frac{y_{_E}-0}{0-2}[/tex3]

[tex3]\color{BurntOrange}\boxed{y_{_E}=-1}[/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Pela semelhança de Triângulos, [tex3]\Delta ADE[/tex3] e [tex3]\Delta ABF[/tex3] são iguais, logo, [tex3]\overline{DE}[/tex3] e [tex3]\overline{AF}[/tex3] são iguais. Como a distância de [tex3]\overline{DE}=5=\overline{AF}[/tex3] , e com base as Coordenadas de [tex3]A[/tex3] , sabemos agora que [tex3]F\,(7,0)[/tex3]

Sabendo o Ponto [tex3]F[/tex3] e o [tex3]m[/tex3] , podemos encontrar a Equação da Reta:

[tex3]m=\frac{y-y_0}{x-x_0}[/tex3]

[tex3]-2=\frac{y-0}{x-7}[/tex3]

[tex3]-2x+14=y[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{2x+y-14=0}[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{\mbox{Alternativa B}}[/tex3]

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Essa é a forma que eu faria, mas comecei meus estudo em Geometria Analítica a pouco tempo, então talvez haja uma forma mais rápida e eficiente

Última edição: LostWalker (Ter 03 Set, 2019 18:27). Total de 3 vezes.


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Re: SIS(2018)-Ponto e Reta

Mensagem não lida por csmarcelo »

Como exatamente você concluiu que [tex3]m=\frac{1}{2}[/tex3] , quero dizer, como [tex3]1-m_1m_2[/tex3] virou [tex3]1-2m[/tex3] ?



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Re: SIS(2018)-Ponto e Reta

Mensagem não lida por LostWalker »

csmarcelo, eu notei um erro na minha conta por uma questão de tamanho...

Acontece que dependo do tamanho dos ângulos, usa-se

[tex3]\tg\theta=\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}[/tex3] ou [tex3]\tg\theta=\frac{m_2-m_1}{1-m_1m_2}[/tex3]

Quando eu estava repassando a resposta, conferi uma anotação minha de outro exercício e misturei, a formula que devia ser usada era a positiva. Mas eu meio que embolei já que usei duas folhas sobre esse assunto de anotações que já tinha feito

Há também a simplificação de usar como módulo, por curiosidade [tex3]\tg\theta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right|[/tex3]

Em fim, corrigindo isso, e sabendo que o coeficiente da reta [tex3]\overline{AD}[/tex3] e [tex3]-2[/tex3] . Termina na ideia de que

[tex3]1+m_1m_2=0[/tex3]
[tex3]1-2m_2[/tex3]

Ou seja, quando eu tava passando, mudei o [tex3]-2[/tex3] para [tex3]2[/tex3] e corrigi usando a fórmula Negativa, mas não avisei na conta acima. E também, sabia por medida que [tex3]m_1[/tex3] e [tex3]m_2[/tex3] teriam sinais contrários (Um subindo e outro Descendo). Então, imagino que vc estava chegando no [tex3]1-(-2).m=0[/tex3] . Desculpe o transtorno, vou mudar o Sinal acima
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Re: SIS(2018)-Ponto e Reta

Mensagem não lida por csmarcelo »

Ahhh sim. De fato, a mudança me confundiu.

Com relação à retas perpendiculares, tem um atalho que podemos tomar. Provavelmente você já o conhece e apenas quis mostrar pelo método genérico, que vale para qualquer angulação. Na verdade, é simplesmente uma consequência da fórmula que você usou: quando duas retas são perpendiculares, o coeficiente angular de uma é o oposto do inverso da outra.

Além disso, percebi uma outra coisa: no denominador, deveria ser [tex3]1+m_1m_2[/tex3] , não?



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Re: SIS(2018)-Ponto e Reta

Mensagem não lida por csmarcelo »

csmarcelo escreveu:
Ter 03 Set, 2019 16:31
Além disso, percebi uma outra coisa: no denominador, deveria ser [tex3]1+m_1m_2[/tex3] , não?
Esquece, você já corrigiu.



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Re: SIS(2018)-Ponto e Reta

Mensagem não lida por LostWalker »

csmarcelo, mania minha de generalizar para abordar mais assuntos... -_-


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Re: SIS(2018)-Ponto e Reta

Mensagem não lida por csmarcelo »

Haha nada contra! Na verdade, se for para conhecer apenas um dos métodos, o genérico, obviamente, sempre será o melhor.



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Re: SIS(2018)-Ponto e Reta

Mensagem não lida por Polímero17 »

LostWalker não entendi seu raciocínio. Vc calculou a tg das retas DA e BA ou de AB e BC?
LostWalker escreveu:
Seg 02 Set, 2019 22:09
Vamos definir que o Ponto onde a Reta de AB¯¯¯¯¯¯¯¯AB¯ cruza o Eixo das Ordenadas é EE e o Ponto onde a Reta de BC¯¯¯¯¯¯¯¯BC¯ cruza o Eixo das Abcissas é FF
O coeficiente m1 e m2 é de qual reta?
Desde já agradeço pela ajuda



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Re: SIS(2018)-Ponto e Reta

Mensagem não lida por LostWalker »

Polímero17

[tex3]m_1[/tex3] se refere a reta [tex3]\overline{AD}[/tex3]
[tex3]m_2[/tex3] se refere a reta [tex3]\overline{AB}[/tex3]



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