Pré-Vestibular

LucasGuedes

(CESCEM-72) O trinômio [tex3]ax^2+bx+c[/tex3] tem duas raízes reais e distintas; [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] são dois números reais não nulos. Então o trinômio
[tex3]\frac{a}{\alpha}x^2+\beta bx+\alpha \beta^2c[/tex3]

a) tem duas raízes reais distintas ou nenhuma raiz real, conforme o sinal de [tex3]\beta[/tex3] .

b) pode ter uma, duas ou nenhuma raízes reais.

c) tem duas raízes reais e distintas se [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] forem ambos positivos, nada se podendo afirmar nos demais casos.

d) tem duas raízes reais e distintas ou nenhuma raiz real, conforme o sinal do produto [tex3]\alpha \beta[/tex3] .

e) tem sempre raízes reais e distintas

Gabarito

(e)

Minha Resolução

"Não faço ideia por onde começar... "
Achei um exercicio semelhante em outro forum mas não consegui utilizar a resolução lá proposta para solucionar este exercício. Segue link abaixo:

https://brainly.com.br/tarefa/8044466

Da primeira equação:
[tex3]b^2-4ac > 0[/tex3]
Pois são duas raízes reais e distintas.

Na segunda:
[tex3]\beta^2b^2-4\frac{a}{\alpha}*\alpha \beta^2 c=\beta^2b^2-\beta^24ac=\beta^2(b^2-4ac)[/tex3]

Do enunciado, [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] são não nulos. Note que [tex3]\beta^2>0[/tex3] , pois é um número não nulo ao quadrado. Sabemos que [tex3]b^2-4ac>0[/tex3] , então segue que [tex3]\beta^2(b^2-4ac)>0[/tex3] , ou seja, o discriminante da segunda equação é maior que zero.

Segue que são sempre duas raízes reais e distintas.

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Função Quadrática / Relações de Girard

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