Pré-Vestibular

Tentei acompanhar esse exercício (1) resolvido do livro "Matemática Contexto e Aplicações'', do professor L. R. Dante, para ter um melhor embasamento em uma questão (2) da UEMA de 2005. Vou anexá-la abaixo. Antes, gostaria de entender pq na resolução consta uma soma para encontrar o foco da elipse

1) Exemplo (Dante): A equação 5x2 + 9y2 - 20x - 18y - 16 = 0 representa uma elipse de eixo maior paralelo ao eixo Ox. Determine o centro e os focos dessa elipse.
centro: O(2, 1) a²= 9 ⇒ a= 3 b² = 5 ⇒ b = (raíz de 5) Fazendo c² = a² + b², vem: c² = 4 ⇒ c = 2 Daí, temos: F1(2 - 2, 1) ⇒ F1(0, 1) F2(2 + 2, 1) ⇒ F2 (4, 1). Entendi até encontrar o valor de C, porém não o motivo de ter efetuado soma para encontrar os focos. Pensei que o par ordenado seria o valor do c e centro, geralmente é assim.

2) (UEMA 2005) A distância focal da elipse X²+4Y²-4X+24Y+36 = 0 é igual a:
Gabarito: "2 raiz de 3."
Fiquei confuso quanto ao sinal de + no 24y, não deu pra encaixar o quadrado da diferença. Além disso, não consegui arrumar essa equação até a da elipse.

Mensagem não lidapor **Nickds** » Qui 29 Ago, 2019 18:27 · Mensagem não lida por **Nickds** » Qui 29 Ago, 2019 18:27

Voce tem que pensar que para encontrar os focos eh preciso pegar a origem e somar c de um lado e subtrair c para achar o outro lado, certo?

Mas nesse exercicio a origem ja nao eh (0,0), eh (2, 1)

E sendo c igual a 2 e somando c a esse (2, 1) fica

(2+2, 1) = Foco 2 = (4, 1)
(2-2, 1) = Foco 1 = (0, 1)

Para fazer um problema como esse da UEMA nao precisa ser no formato [tex3](a-b)^{2}[/tex3] , pode ser [tex3](a+b)^{2}[/tex3] . Porque +b eh igual a -(-b), certo? Entao pega esse +b e transforma em -b para achar o centro, ja que la na formula inicial o centro era representado por (x-x0), esse x0 vira o nosso b do exemplo

E nao fica preocupado porque esse problema foi meio covardia mesmo, eu fiz aqui e me enrolei

X²+4Y²-4X+24Y+36 = 0

Sepára o x e o y

([tex3]x^{2}[/tex3] - 4x) + 4([tex3]y^{2}[/tex3] - 6y) = -36

Para ([tex3]x^{2}[/tex3] - 4x) ficar [tex3](x-2)^{2}[/tex3] precisa somar 4 no parentese e 4 * 4 do outro lado como no exemplo do livro.

Para o outro produto eh preciso somar 9 no parentese e 9*4 do outro lado, ficando

[tex3](x-2)^{2}[/tex3] + 4*[tex3](y+3)^{2}[/tex3] = -36+36+16

Dividindo por 16

([tex3](x-2)^{2}[/tex3] )/16 + 4([tex3](y+3)^{2}[/tex3] )/16 = 16

([tex3](x-2)^{2}[/tex3] )/16 + ([tex3](y+3)^{2}[/tex3] )/4 = 1

a = [tex3]\sqrt{16}[/tex3] = 4
b = [tex3]\sqrt{4}[/tex3] = 2

[tex3]c^{2}[/tex3] = 16 - 4 = [tex3]\sqrt{12}[/tex3] = 2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Perceba que a origem eh (2, -3) porque eh o que eu disse la em cima -2 seria igual a x0 na formula e +3 igual a -y0 na formula

Agora soma c a origem e encontre os focos

Foco 1 = (2-2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] , -3)
Foco 2 = (2+2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] , -3)

Agora subtraia o x dos dois e encontre a distancia focal

2+2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] - 2-2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] = 4*[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Ou seja, o gabarito colocou o valor de c como a distancia focal, só errou nisso

Perfeito !!! Não tenho palavras para agradecê-lo, muito obrigado pela resolução bem detalhada

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