Pré-Vestibular ⇒ (UERJ) Prisma e tetraedro Tópico resolvido

[thetruthFMA]

(UERJ)Um artesão retirou, de uma pedra com a forma inicial de um prisma triangular reto de base EBD, um tetraedro regular VABC. Observe a figura abaixo:

Screenshot_2019-08-07-14-49-10.jpg (37.41 KiB) Exibido 2867 vezes

Considere os seguintes dados:
· os vértices A e V pertencem a duas faces laterais do prisma;
· BD = BE = BC = 1 m.
Determine o volume inicial da pedra.

Resposta

---

√2/3 m³

[petras]

Volume do Prisma Original = S_b . h = S_b . BC [tex3]\rightarrow \mathsf{V=S\Delta_{BED}.1 =
S_{\Delta{BED}}=\frac{EB.DQ}{2}=\frac{1.DQ}{2}=\frac{DQ}{2}\\
DQ = DB.senx=1.senx=senx\\
mas ~cosx=\frac{ap}{Vp}\rightarrow \\
ap(apótema) = \frac{l\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{6}\\
Vp(altura)=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\
cosx = \frac{\frac{\sqrt{3}}{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{3}\rightarrow senx=\sqrt{1-(\frac{1}{3})^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}=DQ\\\therefore V=\frac{DQ}{2}=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2}=\boxed{\mathsf{\frac{\sqrt{2}}{3}m^3}}
}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow \mathsf{V=S\Delta_{BED}.1 =
S_{\Delta{BED}}=\frac{EB.DQ}{2}=\frac{1.DQ}{2}=\frac{DQ}{2}\\
DQ = DB.senx=1.senx=senx\\
mas ~cosx=\frac{ap}{Vp}\rightarrow \\
ap(apótema) = \frac{l\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{6}\\
Vp(altura)=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\
cosx = \frac{\frac{\sqrt{3}}{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{3}\rightarrow senx=\sqrt{1-(\frac{1}{3})^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}=DQ\\\therefore V=\frac{DQ}{2}=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2}=\boxed{\mathsf{\frac{\sqrt{2}}{3}m^3}}
}[/tex3]

[thetruthFMA]

Só para confirmar ap(apótema) é 1/3 da altura de um triângulo?
Fiz assim 1/3 da medida do centro até o baricentro
Daí (lado² √3/2).1/3 = √3/6

[petras]

thetruthFMA,
[tex3]\mathsf{apótema~triângulo~equilátero=\frac{h}{3}=\frac{\frac{l\sqrt{2}}{2}}{3}=\frac{l\sqrt{3}}{6}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{apótema~triângulo~equilátero=\frac{h}{3}=\frac{\frac{l\sqrt{2}}{2}}{3}=\frac{l\sqrt{3}}{6}}[/tex3]