Pré-Vestibular ⇒ (Uerj) Setor Circular e Triângulo

[Vscarv]

Considere um setor circular AOC, cujo ângulo central é medido em radianos. A reta que tangencia o círculo no extremo P do diâmetro CP encontra o prolongamento do diâmetro AB em um ponto Q, como ilustra a figura.

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Sabendo que o ângulo satisfaz a igualdade tgu = 2, calcule a razão entre a área do setor AOC e a área do triângulo OPQ.

Resposta

---

1/2

[csmarcelo]

Quem é [tex3]u[/tex3]

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[tex3]u[/tex3]

?

Sabendo que o ângulo satisfaz a igualdade tgu = 2

Se for [tex3]\tg\theta=2[/tex3]

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[tex3]\tg\theta=2[/tex3]

, então o gabarito está incorreto.

[tex3]\tg\theta=\frac{QP}{OP}[/tex3]

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[tex3]\tg\theta=\frac{QP}{OP}[/tex3]

[tex3]2=\frac{QP}{OP}[/tex3]

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[tex3]2=\frac{QP}{OP}[/tex3]

[tex3]QP=2OP[/tex3]

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[tex3]QP=2OP[/tex3]

Logo,

[tex3]A_{\Delta OPQ}=\frac{2OP\cdot OP}{2}=OP^2[/tex3]

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[tex3]A_{\Delta OPQ}=\frac{2OP\cdot OP}{2}=OP^2[/tex3]

A área do setor circular é [tex3]\frac{\theta\cdot OP^2}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{\theta\cdot OP^2}{2}[/tex3]

, com [tex3]\theta[/tex3]

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[tex3]\theta[/tex3]

em radianos.

Daí, a razão entre a área do setor [tex3]AOC[/tex3]

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[tex3]AOC[/tex3]

e a área do triângulo [tex3]OPQ[/tex3]

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[tex3]OPQ[/tex3]

é igual a [tex3]\frac{\frac{\theta\cdot OP^2}{2}}{OP^2}=\frac{\theta}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{\frac{\theta\cdot OP^2}{2}}{OP^2}=\frac{\theta}{2}[/tex3]

.

E porque não [tex3]\theta=1[/tex3]

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[tex3]\theta=1[/tex3]

?

[tex3]\theta =1\approx57^\circ\rightarrow\tg\theta<\tg60^\circ<2[/tex3]

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[tex3]\theta =1\approx57^\circ\rightarrow\tg\theta<\tg60^\circ<2[/tex3]

, mas [tex3]\tg\theta=2\rightarrow\theta>60^\circ[/tex3]

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[tex3]\tg\theta=2\rightarrow\theta>60^\circ[/tex3]

[Cardoso1979]

Deve ser :

tg (θ) = 2θ. ( Agora faz sentido ! )


O "u" que ele colocou não faz sentido! Ele se equivocou.


Abraços!

[csmarcelo]

Ahhhh! Se for isso, então a resposta é [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

mesmo.

[thetruthFMA]

Como achou a área do setor circular?

[csmarcelo]

É da própria definição da área. Repare que, por exemplo, se [tex3]\theta=2\pi[/tex3]

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[tex3]\theta=2\pi[/tex3]

, então [tex3]\frac{\theta\cdot OP^2}{2}=\pi r^2[/tex3]

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[tex3]\frac{\theta\cdot OP^2}{2}=\pi r^2[/tex3]

, que é justamente a área da circunferência.