Pré-Vestibular ⇒ FUVEST - SP (inequação) Tópico resolvido

[Jhonatan]

Seja f(x) = ax² + (1 - a)x + 1, em que a é um número real diferente de zero.
Determine os valores de a para os quais as raízes da equação f(x) = 0 são reais e o número x = 3 pertence ao intervalo fechado compreendido entre as raízes.

Resposta

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S = {-2/3 ≤ a < 0}

Pessoal, eu tinha resolvido assim: como x = 3 é uma das raízes, substituindo em f(3) = 0 a gente acha a = -2/3.
Depois, substituí em f(x) e a nossa função será: f(x) = (-2/3)x² (5/3)x + 1.
Achei as raízes que, além de x = 3, é também x = -1/2.

Porém, na hora de achar o intervalo de a eu não consegui.
Seria pra fazer -2/3 ≤ a < 0, pois a é diferente de zero ? Ou há um jeito de acharmos, de fato, o intervalo da resposta ? obrigado.

[petras]

3 não é a raiz da função (" número x = 3 pertence ao intervalo fechado compreendido entre as raízes)

Se 3 está no intervalo temos f(3).a [tex3]\leq [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\leq [/tex3]

0 portanto
[tex3]\mathsf{a.f(3) =a.[ 9a+(1-a)3+1]\leq 0\rightarrow 9a^2+3a-3a^2+a\leq 0\\6a^2+4a\leq 0\rightarrow 3a^2-2a\leq 0\\
-\frac{2}{3}\leq a\leq 0 ~mas ~a\neq 0\therefore -\frac{2}{3}\leq a <0
}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{a.f(3) =a.[ 9a+(1-a)3+1]\leq 0\rightarrow 9a^2+3a-3a^2+a\leq 0\\6a^2+4a\leq 0\rightarrow 3a^2-2a\leq 0\\
-\frac{2}{3}\leq a\leq 0 ~mas ~a\neq 0\therefore -\frac{2}{3}\leq a <0
}[/tex3]

[Jhonatan]

obrigado pela ajuda, petras.
mas não entendi o porquê de a.f(3) ≤ 0. Por que teremos esse tipo de equação ?

[petras]

Por isso coloquei o gráfico. Perceba que nas duas situações possíveis em que o número esta entre as raízes o produto de a . f(número) sempre será negativo

[Jhonatan]

petras, sim, eu consegui compreender o gráfico.
o que não compreendi é a razão de termos de multiplicar o "a.f(3)", entendeu ? por que temos de multiplicar esses valores ? entendi a razão de ser menor ou igual a 0.

[petras]

É uma condição para funções de segundo grau. Assim como para termos duas raízes reais e distintas o discriminante é necessário ser maior do que zero quando temos um número entre as raízes poderemos sempre afirmar que a f(número) vezes o coeficiente de x² sempre será menor do que zero.
Isto é um conceito matemático. Se tiver acesso ao livro do Iezzi volume 1 veja a parte de Comparação de um número real com as raízes da equação do 2^o grau

[Jhonatan]

perfeito, petras, muito obrigado pelas ajudas!!!

[kimpetras]

Olá, não entendi muito bem esse teorema de a.p(x) < = 0 e o que isso tem a ver com as raizes..

[Jhonatan]

Kimpetras, isso é uma propriedade. Também não havia entendido pois meu livro não explicou. Mas meu amigo, que tinha livros preparatórios para o Ita e Ime e bem mais avançados, tirou fotos do teorema e eu entendi. Quando eu tiver um tempinho, eu fotografo e coloco aqui pra você ver.

[petras]

kimpetras,

Este teorema serve para analisar a posição de um numero em relação as raízes da função de segundo grau
Basta reparar no gráfico...a> 0 a concavidade é para cima...escolhendo qualquer número entre as duas raízes teremos sua imagem negativa, sendo assim (+.-) = (-)
No segundo gráfico , a < 0 (concavidade para baixo), escolhendo qualquer número entre as raízes teremos sua imagem positiva portanto (-.+) = (-)