Sob essas condições, a quantidade de comissões distintas que pode ser constituída é igual a:
a) 945
b)500
c)620
d)810
Resposta
gab d)810
Pré-Vestibular ⇒ (UDESC) Análise Combinatória Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jul 2019
16
22:13
(UDESC) Análise Combinatória
A Câmara de Vereadores de uma cidade é composta por 13 vereadores, sendo que 6 destes são de partidos políticos da situação(aliados ao governo municipal) e os 7 restantes são de partidos da oposição (contrários ao governo municipal). É necessário compor uma comissão especial a ser formada por exatamente 5 vereadores, de forma que haja pelo menos dois representantes de cada um destes blocos políticos. Além disso, foi definido que o líder da situação e o líder da oposição não poderão fazer parte da mesma comissão.
Sob essas condições, a quantidade de comissões distintas que pode ser constituída é igual a:
a) 945
b)500
c)620
d)810
gab d)810
Sob essas condições, a quantidade de comissões distintas que pode ser constituída é igual a:
a) 945
b)500
c)620
d)810
gab d)810
-
PedroCunha 
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Jul 2019
16
23:24
Re: (UDESC) Análise Combinatória
Boa noite, @Mars3M4!
Vou mostrar dois modos de fazer. Um, mais trabalhoso, mas que é interessante para entendermos como visualizar o problema inteiro. O segundo, bem mais rápido e prático.
1º modo
As possibilidades são as seguintes:
i) 3 representantes da situação e 2 da oposição:
i.i) líder da situação encontra-se nos representantes da situação [tex3](x_1) [/tex3]
i.ii) líder da oposição encontra-se nos representantes da oposição [tex3](x_2) [/tex3]
i.iii) não há líderes presentes [tex3](x_3) [/tex3]
ii) 2 representantes da situação e 3 da oposição:
ii.i) líder da situação encontra-se nos representantes da situação [tex3](y_1) [/tex3]
ii.ii) líder da oposição encontra-se nos representantes da oposição [tex3](y_2) [/tex3]
ii.iii) não há líderes presentes [tex3](y_3) [/tex3]
de tal modo que o total possível de comissões é a soma de todas essas possibilidades.
Calculando:
[tex3]
\begin{cases}
x_1 = C_{5,2} \cdot C_{6,2} \\ x_2 = C_{5,3} \cdot C_{6,1} \\ x_3 = C_{5,3} \cdot C_{6,2}
\end{cases}
[/tex3]
e de modo semelhante:
[tex3]
\begin{cases}
y_1 = C_{5,1} \cdot C_{6,3} \\ y_2 = C_{5,2} \cdot C_{6,2} \\ y_3 = C_{5,2} \cdot C_{6,3}
\end{cases}
[/tex3]
Logo, o número total de comissões distintas que pode ser formado [tex3](k) [/tex3] é:
[tex3]
k = C_{5,2} \cdot C_{6,2} + C_{5,3} \cdot C_{6,1} + C_{5,3} \cdot C_{6,2} + C_{5,1} \cdot C_{6,3} + C_{5,2} \cdot C_{6,2} + C_{5,2} \cdot C_{6,3}\\\\ \hspace{55mm} \therefore \boxed{\boxed{k = 810 }}
[/tex3]
2º modo
O total de comissões possíveis de serem formadas sem restrição da presença de líderes é:
[tex3]
C_{6,3} \cdot C_{7,2} + C_{6,2} \cdot C_{7,3} = 945
[/tex3]
o total de comissões com a presença dos dois líderes:
[tex3]
C_{5,2} \cdot C_{6,1} + C_{5,1} \cdot C_{6,2} = 135
[/tex3]
de modo que o número de comissões que satisfazem às condições é:
[tex3]
k = 945 - 135 \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ k = 810 }}
[/tex3]
Alternativa d
Abraço,
Pedro.
Vou mostrar dois modos de fazer. Um, mais trabalhoso, mas que é interessante para entendermos como visualizar o problema inteiro. O segundo, bem mais rápido e prático.
1º modo
As possibilidades são as seguintes:
i) 3 representantes da situação e 2 da oposição:
i.i) líder da situação encontra-se nos representantes da situação [tex3](x_1) [/tex3]
i.ii) líder da oposição encontra-se nos representantes da oposição [tex3](x_2) [/tex3]
i.iii) não há líderes presentes [tex3](x_3) [/tex3]
ii) 2 representantes da situação e 3 da oposição:
ii.i) líder da situação encontra-se nos representantes da situação [tex3](y_1) [/tex3]
ii.ii) líder da oposição encontra-se nos representantes da oposição [tex3](y_2) [/tex3]
ii.iii) não há líderes presentes [tex3](y_3) [/tex3]
de tal modo que o total possível de comissões é a soma de todas essas possibilidades.
Calculando:
[tex3]
\begin{cases}
x_1 = C_{5,2} \cdot C_{6,2} \\ x_2 = C_{5,3} \cdot C_{6,1} \\ x_3 = C_{5,3} \cdot C_{6,2}
\end{cases}
[/tex3]
e de modo semelhante:
[tex3]
\begin{cases}
y_1 = C_{5,1} \cdot C_{6,3} \\ y_2 = C_{5,2} \cdot C_{6,2} \\ y_3 = C_{5,2} \cdot C_{6,3}
\end{cases}
[/tex3]
Logo, o número total de comissões distintas que pode ser formado [tex3](k) [/tex3] é:
[tex3]
k = C_{5,2} \cdot C_{6,2} + C_{5,3} \cdot C_{6,1} + C_{5,3} \cdot C_{6,2} + C_{5,1} \cdot C_{6,3} + C_{5,2} \cdot C_{6,2} + C_{5,2} \cdot C_{6,3}\\\\ \hspace{55mm} \therefore \boxed{\boxed{k = 810 }}
[/tex3]
2º modo
O total de comissões possíveis de serem formadas sem restrição da presença de líderes é:
[tex3]
C_{6,3} \cdot C_{7,2} + C_{6,2} \cdot C_{7,3} = 945
[/tex3]
o total de comissões com a presença dos dois líderes:
[tex3]
C_{5,2} \cdot C_{6,1} + C_{5,1} \cdot C_{6,2} = 135
[/tex3]
de modo que o número de comissões que satisfazem às condições é:
[tex3]
k = 945 - 135 \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ k = 810 }}
[/tex3]
Alternativa d
Abraço,
Pedro.
"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."
Jul 2019
16
23:50
Re: (UDESC) Análise Combinatória
Muito obrigado!PedroCunha escreveu: ↑Ter 16 Jul, 2019 23:24Boa noite, @Mars3M4!
Vou mostrar dois modos de fazer. Um, mais trabalhoso, mas que é interessante para entendermos como visualizar o problema inteiro. O segundo, bem mais rápido e prático.
1º modo
As possibilidades são as seguintes:
i) 3 representantes da situação e 2 da oposição:
i.i) líder da situação encontra-se nos representantes da situação [tex3](x_1) [/tex3]
i.ii) líder da oposição encontra-se nos representantes da oposição [tex3](x_2) [/tex3]
i.iii) não há líderes presentes [tex3](x_3) [/tex3]
ii) 2 representantes da situação e 3 da oposição:
ii.i) líder da situação encontra-se nos representantes da situação [tex3](y_1) [/tex3]
ii.ii) líder da oposição encontra-se nos representantes da oposição [tex3](y_2) [/tex3]
ii.iii) não há líderes presentes [tex3](y_3) [/tex3]
de tal modo que o total possível de comissões é a soma de todas essas possibilidades.
Calculando:
[tex3]
\begin{cases}
x_1 = C_{5,2} \cdot C_{6,2} \\ x_2 = C_{5,3} \cdot C_{6,1} \\ x_3 = C_{5,3} \cdot C_{6,2}
\end{cases}
[/tex3]
e de modo semelhante:
[tex3]
\begin{cases}
y_1 = C_{5,1} \cdot C_{6,3} \\ y_2 = C_{5,2} \cdot C_{6,2} \\ y_3 = C_{5,2} \cdot C_{6,3}
\end{cases}
[/tex3]
Logo, o número total de comissões distintas que pode ser formado [tex3](k) [/tex3] é:
[tex3]
k = C_{5,2} \cdot C_{6,2} + C_{5,3} \cdot C_{6,1} + C_{5,3} \cdot C_{6,2} + C_{5,1} \cdot C_{6,3} + C_{5,2} \cdot C_{6,2} + C_{5,2} \cdot C_{6,3}\\\\ \hspace{55mm} \therefore \boxed{\boxed{k = 810 }}
[/tex3]
2º modo
O total de comissões possíveis de serem formadas sem restrição da presença de líderes é:
[tex3]
C_{6,3} \cdot C_{7,2} + C_{6,2} \cdot C_{7,3} = 945
[/tex3]
o total de comissões com a presença dos dois líderes:
[tex3]
C_{5,2} \cdot C_{6,1} + C_{5,1} \cdot C_{6,2} = 135
[/tex3]
de modo que o número de comissões que satisfazem às condições é:
[tex3]
k = 945 - 135 \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ k = 810 }}
[/tex3]
Alternativa d
Abraço,
Pedro.
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