Pré-Vestibular ⇒ (ESPM-SP) Geometria Plana Tópico resolvido

[Holanda1427]

(ESPM-SP) Os pontos A, B, C e D são vértices consecutivos de um polígono regular com 20 diagonais, cujo lado mede 1. O comprimento do segmento AD é igual a:

a) [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

b) [tex3]1+\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]1+\sqrt{2}[/tex3]

c) [tex3]2\sqrt{2}-1[/tex3]

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[tex3]2\sqrt{2}-1[/tex3]

d) [tex3]2\sqrt{2}+1[/tex3]

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[tex3]2\sqrt{2}+1[/tex3]

e) [tex3]2\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]2\sqrt{2}[/tex3]

Resposta

---

b

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Eu quero entender, principalmente, por que aqueles dois valores x são iguais

Obs.: Por favor, fazer a resolução com o máximo de detalhes para melhor entendimento

[petras]

N. Diagonais = D
Si = Soma dos Ângulos Internos
ai = Ângulo Interno
n = n. lados do polígono

[tex3]\mathsf{D =\frac{n(n-3)}{2}\rightarrow 20 = \frac{n^2-3n}{2}\rightarrow n^2-3n-40=0\\
n =8\\
a_i=\frac{S_i}{n}=\frac{180(n-2)}{n}=\frac{180.(8-2)}{8}=135^o}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{D =\frac{n(n-3)}{2}\rightarrow 20 = \frac{n^2-3n}{2}\rightarrow n^2-3n-40=0\\
n =8\\
a_i=\frac{S_i}{n}=\frac{180(n-2)}{n}=\frac{180.(8-2)}{8}=135^o}[/tex3]

Como o polígono é regular AB=BC=CD=1

Projetando os vértices B e C sobre a diagonal através de suas perpendiculares obteremos um segmento de mesma medida de BC = 1
Como o Ângulo Interno do polígono vale 135^o teremos o Ângulo B do triângulo =135 - 90 = 45^o.
Os outros Ângulos deste triângulos serão 90^o e 180 - 90 - 45 = 45^o, portanto um triângulo retângulo isósceles.
Chamando de x os catetos e aplicando Pitágoras teremos:
x² + x² = 1² [tex3]\rightarrow x = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]\rightarrow x = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

x
AD = [2.[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}]+1 =1+\sqrt{2} [/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}]+1 =1+\sqrt{2} [/tex3]