Pré-Vestibular(FUVEST) Inequação trigonométrica Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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thetruthFMA
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(FUVEST) Inequação trigonométrica

Mensagem não lida por thetruthFMA »

(Fuvest) Determine os valores de x no intervalo ]0,2π[ para os quais cos x ≥ (√3 )Sen x +√3.
Resposta

3π/2≤x≤11π/6

Última edição: thetruthFMA (Seg 08 Jul, 2019 18:36). Total de 2 vezes.


desde já agradeço pela ajuda pessoal! Arigatou!

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csmarcelo
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Re: Inequação trigonométrica

Mensagem não lida por csmarcelo »

[tex3]\(\sqrt{1-\sin^2x}\)^2\geqslant(\sqrt{3}\sin x+\sqrt{3})^2[/tex3]

[tex3]1-\sin^2x\geqslant3\sin^2x+6\sin x+3[/tex3]

[tex3]4\sin^2x+6\sin x+2\leqslant0[/tex3]

[tex3]-1\leqslant x\leqslant-\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{7\pi}{6}\leqslant x\leqslant\frac{11\pi}{6}[/tex3]

Como elevamos ao quadrado os membros da inequação, precisamos verificar se há raízes estranhas. E, fazendo tal análise, constatamos que os valores de [tex3]x[/tex3] para os quais o cosseno é negativo não são válidos, o que nos leva ao gabarito.




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snooplammer
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Re: (FUVEST) Inequação trigonométrica

Mensagem não lida por snooplammer »

[tex3]\cos x- \sqrt{3}\sen x \geq \sqrt3[/tex3]
[tex3]2\bigg(\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2} \sen x \bigg) \geq \sqrt{3}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2} \sen x \geq \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]\sen\big(30^\circ-x \big) \geq \sen (60^\circ)[/tex3]
[tex3]60^\circ \leq 30^\circ - x \leq 120^\circ[/tex3]

Só terminar



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thetruthFMA
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Re: (FUVEST) Inequação trigonométrica

Mensagem não lida por thetruthFMA »

snooplammer escreveu:
Seg 08 Jul, 2019 19:24
[tex3]\sen\big(30^\circ-x \big) \geq \sen (60^\circ)[/tex3]
Como se resolve a partir daí? Não poderia cortar os senos?


desde já agradeço pela ajuda pessoal! Arigatou!

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snooplammer
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Re: (FUVEST) Inequação trigonométrica

Mensagem não lida por snooplammer »

Como assim cortar os senos? :roll:
DeepinScreenshot_select-area_20190713020059.png
DeepinScreenshot_select-area_20190713020059.png (27.17 KiB) Exibido 1719 vezes
O que está em vermelho é a solução da questão



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csmarcelo
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Re: (FUVEST) Inequação trigonométrica

Mensagem não lida por csmarcelo »

snooplammer, acho que ele deduziu o seguinte:

[tex3]\sin(30^\circ-x)\geqslant\sin(60^\circ)\rightarrow30^\circ-x\geqslant60^\circ[/tex3]
Última edição: csmarcelo (Sáb 13 Jul, 2019 08:06). Total de 1 vez.



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snooplammer
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Re: (FUVEST) Inequação trigonométrica

Mensagem não lida por snooplammer »

Pode até ser, mas daí ele só acharia o valor minimo, falta achar o máximo. O que ele perguntou, eu escrevi aqui:

[tex3]60^\circ \leq 30^\circ - x \leq 120^\circ[/tex3]



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erihh3
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Re: (FUVEST) Inequação trigonométrica

Mensagem não lida por erihh3 »

thetruthFMA escreveu:
Sex 12 Jul, 2019 23:19
snooplammer escreveu:
Seg 08 Jul, 2019 19:24
[tex3]\sen\big(30^\circ-x \big) \geq \sen (60^\circ)[/tex3]
Como se resolve a partir daí? Não poderia cortar os senos?
O problema de cortar os senos é que ele não é uma função injetora no intervalo dado. Veja por exemplo que sen(120º)=sen(60º), mas 120º é diferente de 60º. Você poderia cortar se o intevalo fosse de [0;pi/2], por exemplo, pois não haveria valores iguais no intervalo. Cortando fora dessa condição, você não vai encontrar todas as soluções porque já pressupõe que ela é injetora. Nesse caso, você acharia um pedaço da solução, mas dependendo da equação você poderia até não encontrar nenhuma.


Resumindo:
Só se pode "cortar" uma função se ela for injetora no intervalo analisado. Aí usa-se a propriedade das funções injetoras [tex3]f(x)=f(y)\Leftrightarrow x=y[/tex3] que vale tanto cortar quanto aplicar a função na igualdade.
Última edição: erihh3 (Sáb 13 Jul, 2019 19:36). Total de 1 vez.
Razão: formatação


Ciclo Básico - IME

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kimpetras
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Re: Inequação trigonométrica

Mensagem não lida por kimpetras »

csmarcelo escreveu:
Seg 08 Jul, 2019 19:19
[tex3]\(\sqrt{1-\sin^2x}\)^2\geqslant(\sqrt{3}\sin x+\sqrt{3})^2[/tex3]

[tex3]1-\sin^2x\geqslant3\sin^2x+6\sin x+3[/tex3]

[tex3]4\sin^2x+6\sin x+2\leqslant0[/tex3]

[tex3]-1\leqslant x\leqslant-\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{7\pi}{6}\leqslant x\leqslant\frac{11\pi}{6}[/tex3]

Como elevamos ao quadrado os membros da inequação, precisamos verificar se há raízes estranhas. E, fazendo tal análise, constatamos que os valores de [tex3]x[/tex3] para os quais o cosseno é negativo não são válidos, o que nos leva ao gabarito.
estou confuso pq essa resposta difere do gabarito




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